Изменение моей модели конечных разностей с 2D на 3D приводит к нестабильному поведению
Я писал код конечных разностей для моделирования и обнаружения трещин с помощью лазерной термографии. Трещина реализуется с помощью факторов a и b, которые "демпфируют" тепловой поток через заполненную воздухом трещину, используя подход с призрачной точкой. 2D-модель работает как положено, условие устойчивости выполнено, все прошло нормально. Это даже хорошо подтверждается экспериментальными данными. Просто скопируйте и вставьте, и это будет работать.
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%% 2D-Wärmeleitungsgleichung mit Ghost-Point-Methode und %%
%% Finiter Differenzen %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
% Leeren des Workspace und des Editors
clc;
clear all;
format long;
%%
% Abmessungen und Schrittweiten des Bleches im Raum
NX = 121; % Schrittzahl in x-Richtung
NY = 121; % Schrittzahl in y-Richtung
XMAX = 30E-3; % Abmessung x-Richtung [m]
YMAX = 30E-3; % Abmessung y-Richtung [m]
dx = XMAX/(NX-1); % Schrittweite in x-Richtung [m]
dy = YMAX/(NY-1); % Schrittweite in y-Richtung [m]
x = -XMAX/2:dx:XMAX/2; % Vektor mit x-Werten
y = -YMAX/2:dy:YMAX/2; % Vektor mit y-Werten
% Laserparameter
P = 8325; % Laserleistung [W]
DIST = 10E-3; % Abtaststrecke [m]
SPOTD = 60E-6; % Spotdurchmesser [m]
ALPHA = 0.07; % Absorptionskoeffizient
% Schrittweiten in der Zeit
dt = 0.0002; % Zeitschritt [s]
NT = 400; % Anzahl der Zeitschritte
% Materialdaten Aluminium
DENS = 2700; % Dichte [kg*m^-3]
K_ALU = 180; % Wärmeleitfähigkeit Alu [W*(m*K)^-1]
C = 895; % spez. Wärmekapazität [J*K^-1 ]
k = K_ALU/(DENS*C); % Temperaturleitfähigkeit [m^2*s^-1]
% Materialdaten Luft im Riss
K_AIR = 0.025; % Wärmeleitfähigkeit Luft [W*(m*K)^-1]
% Variablen für die Ghost-Point-Methode
delta = 50E-6; % Breite Riss [m]
EPS = ((K_ALU)/(K_AIR)-1)*delta; % Relation K_ALU, K_AIR, delta
a = (3*(EPS)+4*dx)/(EPS+dx); % Faktor a
b = (dx)/(EPS+dx); % Faktor b
% Speicherallokation für die Temperatur-Matrix
T_OLD = zeros(NX,NY); % Allokation alte Temperaturen
T_NEW = zeros(NX,NY); % Allokation neue Temperaturen
% Speicherallokation für die Last-Matrix
q = zeros(NX,NY); % Allokation der Lasten
%%
% Anfangsbedingung (Blechtemperatur)
for i=1:NX
for j=1:NY
T_OLD(i,j)=30;
end
end
%%
% Instationärer Wärmestrom (Wärmestromdichte durch Line-Scan)
for i=1:NX
for j=1:NY
if ((i>=40) && (i<=80) && (j==61))
q(i,j)=k*ALPHA*((P)/(DIST*SPOTD))/(K_ALU);
else
q(i,j)=0;
end
end
end
%%
% Berechnung der Feldvariablen für jeden Zeitschritt
for it = 0:NT
clf; % Löscht aktuelle Figure
T_NEW = T_OLD; % setze T_NEW als T_OLD
h=surf(x,y,T_OLD','EdgeColor','k'); % Plotting der Feldvariablen
set(gca,'fontsize',20)
colormap jet; % Farbschema der Farbskala
colorbar('location','eastoutside'... % Position und Größe Farbschema
,'fontsize',20);
shading interp % Interpolation zwichen Schritten
axis ([-15E-3 15E-3 -15E-3 15E-3]) % Achsenskalierung
% Achsbeschriftungen
title({['LST for crack detection using finite difference 2D Heat-'...
'Diffusion'];['and ghost point method'] ;['time (\itt) = '...
,num2str(it*dt) 's']})
xlabel('x in [m]','FontSize',20)
ylabel('y in [m]','FontSize',20)
zlabel('Temperatur in [°C]')
view(2); % Darstellung (1D, 2D, oder 3D)
drawnow; % Aktualisiert die Figure
pause(1E-40) % Pause zwischen einzelnen Figures
refreshdata(h) % Aktualisiert die Daten in Figure
% Explizites Finite-Differenzen-Verfahren (mittels zentralem DQ)
for i=2:NX-1
for j=2:NY-1
if((j==69) && (i>=52) && (i<=68))
T_OLD(i,j) = T_NEW(i,j)+(k*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j)-...
a*T_NEW(i,j)+T_NEW(i-1,j)+b*T_NEW(i,j+1)+...
T_NEW(i,j-1))+dt*q(i,j);
else
T_OLD(i,j) = T_NEW(i,j)+(k*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j)-...
4*T_NEW(i,j)+T_NEW(i-1,j)+T_NEW(i,j+1)+...
T_NEW(i,j-1))+dt*q(i,j);
end
end
end
end
%% Programm Ende
Но при переходе от 2D к 3D значение dt для стабильного поведения увеличивается на порядки больше, чем ожидалось. Я перепробовал все. Используя более простую загрузку, комментируя "трещину-петлю", но ничего не получалось.
Расчет условия стабильности,
dt <= dx^2/(6*k) = 1.39E-4 instead of 2E-10(!!!)
должно быть достаточно. Но просто попробуйте 2E-9, и схема уже начнет колебаться. Проблема в том, что мне нужен тепловой поток ниже трещины. Вот почему мне нужна 3D-модель, на случай, если вы об этом спросите. Но, таким образом, потребуются годы, чтобы рассчитать всего лишь несколько от 10 до 100 миллисекунд, что является необходимым диапазоном.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% 3D-Wärmeleitungsgleichung mit Ghost-Point-Methode und %%
%% Finiter Differenzen %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
% Leeren des Workspace und des Editors
clc;
close all;
format long;
%%
% Abmessungen und Schrittweiten des Bleches im Raum
NX = 121; % Schrittzahl in x-Richtung
NY = 121; % Schrittzahl in y-Richtung
NZ = 9; % Schrittzahl in y-Richtung
XMAX = 30E-3; % Abmessung x-Richtung [m]
YMAX = 30E-3; % Abmessung y-Richtung [m]
ZMAX = 2E-3; % Abmessung z-Richtung [m]
dx = XMAX/(NX-1); % Schrittweite in x-Richtung [m]
dy = YMAX/(NY-1); % Schrittweite in y-Richtung [m]
dz = ZMAX/(NZ-1); % Schrittweite in z-Richtung [m]
x = 0:dx:XMAX; % Vektor mit x-Werten
y = 0:dy:YMAX; % Vektor mit y-Werten
z = 0:dz:ZMAX; % Vektor mit Z-Werten
% Schrittweiten in der Zeit
dt = 2E-10; % Zeitschritt [s]
NT = 5E11; % Anzahl der Zeitschritte
% Laserparameter
P = 8325; % Laserleistung [W]
DIST = 10E-3; % Abtaststrecke [m]
SPOTD = 60E-6; % Spotdurchmesser [m]
% Materialdaten Aluminium
DENS = 2700; % Dichte [kg*m^-3]
K_ALU = 180; % Wärmeleitfähigkeit Alu [W*(m*K)^-1]
C = 895; % spez. Wärmekapazität [J*K^-1 ]
k = K_ALU/(DENS*C); % Temperaturleitfähigkeit [m^2*s^-1]
ALPHA = 0.07; % Absorptionskoeffizient
% Materialdaten Luft im Riss
K_AIR = 0.025; % Wärmeleitfähigkeit Luft [W*(m*K)^-1]
% Variablen für die Ghost-Point-Methode
delta = 50E-6; % Breite Riss [m]
EPS = ((K_ALU)/(K_AIR)-1)*delta; % Relation K_ALU, K_AIR, delta
a = (5*(EPS)+6*dx)/(EPS+dx); % Faktor a
b = (dx)/(EPS+dx); % Faktor b
% Speicherallokation für die Temperatur-Matrix
T_OLD = zeros(NX,NY,NZ); % Allokation alte Temperaturen
T_NEW = zeros(NX,NY,NZ); % Allokation neue Temperaturen
T_AMB = 30; % Umgebungstemperatur
% Speicherallokation für die Last-Matrix
q = zeros(NX,NY,NZ); % Allokation der Lasten
%%
% Anfangsbedingung (Blechtemperatur)
for i=1:NX
for j=1:NY
for k=1:NZ
T_OLD(i,j,k)=T_AMB;
end
end
end
%%
% Instationärer Wärmestrom (Wärmestromdichte durch Line-Scan)
for i=1:NX
for j=1:NY
for k=1:NZ
if ((j>=40) && (j<=80) && (i==60) && (k==9))
q(i,j,k)=k*ALPHA*((P)/(DIST*SPOTD))/(K_ALU);
else
q(i,j,k)=0;
end
end
end
end
%%
% Berechnung der Feldvariablen für jeden Zeitschritt
for it = 0:NT
clf; % Löscht aktuelle Figure
T_NEW = T_OLD; % setze T_NEW als T_OLD
h = slice(x,y,z,T_OLD,... % Plotting der Feldvariablen
[],[],[2E-3]);
colormap jet; % Farbschema der Farbskala
colorbar('location','eastoutside'... % Position und Größe Farbschema
,'fontsize',12);
shading interp % Interpolation zwichen Schritten
axis ([0 30E-3 0 30E-3 0 2E-3]) % Achsenskalierung
% alpha(0.5);
% Achsbeschriftungen
title({['LST for crack detection using finite difference 3D Heat-'...
'Diffusion'];['and ghost point method'] ;['time (\itt) = '...
,num2str(it*dt) 's']})
xlabel('x in [m]')
ylabel('y in [m]')
zlabel('z in [m]')
view(2); % Darstellung (1D, 2D, oder 3D)
drawnow; % Aktualisiert die Figure
pause(1E-40) % Pause zwischen einzelnen Figures
refreshdata(h) % Aktualisiert die Daten in Figure
% Explizites Finite-Differenzen-Verfahren (mittels zentralem DQ)
for i=2:NX-1
for j=2:NY-1
for k=1:NZ
if((j>=45) && (j<=75) && (i==50) && (k<=9) && (k>=5))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(k*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
a*T_NEW(i,j,k)+b*T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
elseif(k==1)
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(k*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_NEW(i,j,k+1)+T_AMB)+...
dt*q(i,j,k);
elseif(k==NZ)
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(k*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
else
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(k*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_NEW(i,j,k+1)+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
end
end
end
end
end
%% Programm Ende
Заранее спасибо, я очень отчаялся об этой проблеме.
Привет Алекс
2 ответа
Решение
В вашем коде есть ошибка - в 3D-версии вы вводите циклическую переменную k для измерения z. Эта переменная перезаписывает ваш ранее определенный коэффициент k. После исправления все работает с dt = 1e-4 с в 3D. Я просто изменил k, служащий в качестве переменной цикла, на kj. Вы можете выбрать лучшее имя. На самом деле, рекомендуется использовать более длинные имена для циклических переменных, а не только i, j, k... - например, две или три буквы вместо одной.
Другая очередь только что подошла. Поскольку нагрузка применяется в качестве переходного теплового потока, а не в виде Неймана-BC, мне приходится справляться с границами. Как вы можете видеть из моего сценария, я полагал, что точки сетки для дифференциации вне домена будут равны температуре окружающей среды для каждого приращения времени. На самом деле это не работает, поскольку точки при k=NZ тоже должны нагреваться, чего почти не происходит. Делать это в 2D снова не проблема, потому что в направлении z нет градиента. Так что у вас есть совет, как изменить мой код? Я думал о замене T_AMB на T_NEW(i,j,k), чтобы T_NEW(i,j,k+1) равнялся T_NEW(i,j,k). что дает разумный сюжет. Но опять же, я не знаю, математически ли это правильно. Ниже приведен слегка исправленный код относительно циклов.
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%% 3D-Wärmeleitungsgleichung mit Ghost-Point-Methode und %%
%% Finiter Differenzen %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
% Leeren des Workspace und des Editors
clc;
close all;
format long;
%%
% Abmessungen und Schrittweiten des Bleches im Raum
NX = 121; % Schrittzahl in x-Richtung
NY = 121; % Schrittzahl in y-Richtung
NZ = 33; % Schrittzahl in y-Richtung
XMAX = 30E-3; % Abmessung x-Richtung [m]
YMAX = 30E-3; % Abmessung y-Richtung [m]
ZMAX = 8E-3; % Abmessung z-Richtung [m]
dx = XMAX/(NX-1); % Schrittweite in x-Richtung [m]
dy = YMAX/(NY-1); % Schrittweite in y-Richtung [m]
dz = ZMAX/(NZ-1); % Schrittweite in z-Richtung [m]
x = 0:dx:XMAX; % Vektor mit x-Werten
y = 0:dy:YMAX; % Vektor mit y-Werten
z = 0:dz:ZMAX; % Vektor mit Z-Werten
% Schrittweiten in der Zeit
dt = 1E-4; % Zeitschritt [s]
NT = 5E11; % Anzahl der Zeitschritte
% Laserparameter
P = 160000; % Laserleistung [W]
DIST = 10E-3; % Abtaststrecke [m]
SPOTD = 60E-6; % Spotdurchmesser [m]
% Materialdaten Aluminium
DENS = 2700; % Dichte [kg*m^-3]
K_ALU = 180; % Wärmeleitfähigkeit Alu [W*(m*K)^-1]
C = 895; % spez. Wärmekapazität [J*K^-1 ]
kappa = K_ALU/(DENS*C); % Temperaturleitfähigkeit [m^2*s^-1]
ALPHA = 0.07; % Absorptionskoeffizient
% Materialdaten Luft im Riss
K_AIR = 0.025; % Wärmeleitfähigkeit Luft [W*(m*K)^-1]
% Variablen für die Ghost-Point-Methode
delta = 10E-6; % Breite Riss [m]
EPS = ((K_ALU)/(K_AIR)-1)*delta; % Relation K_ALU, K_AIR, delta
a = (5*(EPS)+6*dx)/(EPS+dx); % Faktor a
b = (dx)/(EPS+dx); % Faktor b
% Speicherallokation für die Temperatur-Matrix
T_OLD = zeros(NX,NY,NZ); % Allokation alte Temperaturen
T_NEW = zeros(NX,NY,NZ); % Allokation neue Temperaturen
T_AMB = 30; % Umgebungstemperatur
% Speicherallokation für die Last-Matrix
q = zeros(NX,NY,NZ); % Allokation der Lasten
%%
% Anfangsbedingung (Blechtemperatur)
for i=1:NX
for j=1:NY
for k=1:NZ
T_OLD(i,j,k)= T_AMB;
end
end
end
%%
% Instationärer Wärmestrom (Wärmestromdichte durch Line-Scan)
for i=1:NX
for j=1:NY
for k=1:NZ
if ((j>=40) && (j<=80) && (i==60) && (k==33))
q(i,j,k)=kappa*ALPHA*((P)/(DIST*SPOTD))/(K_ALU);
else
q(i,j,k)=0;
end
end
end
end
%%
% Berechnung der Feldvariablen für jeden Zeitschritt
for it = 0:NT
clf; % Löscht aktuelle Figure
T_NEW = T_OLD; % setze T_NEW als T_OLD
h = slice(x,y,z,T_OLD,... % Plotting der Feldvariablen
[],[],[8E-3]);
colormap jet; % Farbschema der Farbskala
colorbar('location','eastoutside'... % Position und Größe Farbschema
,'fontsize',12);
shading interp % Interpolation zwichen Schritten
axis ([0 30E-3 0 30E-3 0 8E-3]) % Achsenskalierung
%alpha(0.5);
% Achsbeschriftungen
title({['LST for crack detection using finite difference 3D Heat-'...
'Diffusion'];['and ghost point method'] ;['time (\itt) = '...
,num2str(it*dt) 's']})
xlabel('x in [m]')
ylabel('y in [m]')
zlabel('z in [m]')
view(2); % Darstellung (1D, 2D, oder 3D)
drawnow; % Aktualisiert die Figure
pause(1E-40) % Pause zwischen einzelnen Figures
refreshdata(h) % Aktualisiert die Daten in Figure
% Explizites Finite-Differenzen-Verfahren (mittels zentralem DQ)
for i=2:NX-1
for j=2:NY-1
for k=1:NZ
if((j>=52) && (j<=68) && (i==65) && (k==NZ))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(b*T_NEW(i+1,j,k)-...
a*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
elseif((j>=52) && (j<=68) && (i==65) && (k<NZ) && (k>=15))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(b*T_NEW(i+1,j,k)-...
a*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_NEW(i,j,k+1)+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
elseif(k==1)
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_NEW(i,j,k+1)+T_AMB)+...
dt*q(i,j,k);
elseif((k==NZ) && (j<52))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
elseif((k==NZ) && (j>68))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
elseif((k==NZ) && (j>=52) && (j<=68) && (i~=65))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
else
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_NEW(i,j,k+1)+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
end
end
end
end
end
%% Programm Ende