Трилатерация и определение местоположения точки (x,y,z)
Я хочу, чтобы найти координаты неизвестного узла, которые лежат где-то в пространстве, которое имеет свое эталонное расстояние от 3-й или более узлов, все они известны координаты.
Эта проблема в точности как Трилатерация, как описано здесь Трилатерация.
Тем не менее, я не понимаю часть о "Предварительных и окончательных вычислениях" (см. Сайт википедии). Я не понимаю, где я могу найти P1, P2 и P3, просто чтобы я мог применить это уравнение?
Спасибо
3 ответа
Трилатерация - это процесс нахождения центра области пересечения трех сфер. Центральная точка и радиус каждой из трех сфер должны быть известны.
Давайте рассмотрим три примера центральных точек P1 [-1,1], P2 [1,1] и P3 [-1,-1]. Первое требование заключается в том, чтобы P1'была в начале координат, поэтому давайте соответствующим образом скорректируем точки, добавив вектор смещения V [1,-1] ко всем трем:
P1' = P1 + V = [0, 0]
P2' = P2 + V = [2, 0]
P3' = P3 + V = [0,-2]
Примечание. Скорректированные точки обозначаются аннотацией ' (штрих).
P2'также должен лежать на оси X. В этом случае это уже происходит, поэтому никаких настроек не требуется.
Мы примем радиус каждой сферы равным 2.
Теперь у нас есть 3 уравнения (дано) и 3 неизвестных (X, Y, Z точки пересечения центра).
Решить для P4'x:
x = (r1^2 - r2^2 + d^2) / 2d //(d,0) are coords of P2'
x = (2^2 - 2^2 + 2^2) / 2*2
x = 1
Решить для P4'ы:
y = (r1^2 - r3^2 + i^2 + j^2) / 2j - (i/j)x //(i,j) are coords of P3'
y = (2^2 - 2^2 + 0 + -2^2) / 2*-2 - 0
y = -1
Игнорировать z для 2D задач.
P4 '= [1, -1]
Теперь мы переводим обратно в исходное координатное пространство, вычитая вектор смещения V:
P4 = P4 '- V = [0,0]
Точка решения, P4, лежит в начале координат, как и ожидалось.
Во второй половине статьи описывается метод представления набора точек, в которых P1 не находится в начале координат или P2 не находится на оси x так, чтобы они соответствовали этим ограничениям. Я предпочитаю думать об этом как о переводе, но оба метода приведут к одному и тому же решению.
Редактировать: Поворот P2'по оси X
Если P2'не лежит на оси x после перевода P1 в начало координат, мы должны выполнить поворот на виде.
Во-первых, давайте создадим несколько новых векторов для использования в качестве примера: P1 = [2,3] P2 = [3,4] P3 = [5,2]
Помните, мы должны сначала перевести P1 в начало координат. Как всегда, вектор смещения, V, равен -P1. В этом случае V = [-2,-3]
P1' = P1 + V = [2,3] + [-2,-3] = [0, 0]
P2' = P2 + V = [3,4] + [-2,-3] = [1, 1]
P3' = P3 + V = [5,2] + [-2,-3] = [3,-1]
Чтобы определить угол поворота, мы должны найти угол между P2'и [1,0] (ось X).
Мы можем использовать равенство точечного произведения:
A dot B = ||A|| ||B|| cos(theta)
Когда B равно [1,0], это можно упростить: точка B всегда является просто компонентом X в A, а ||B|| (величина B) всегда умножается на 1 и поэтому может быть проигнорирована.
Теперь у нас есть Ax = ||A|| cos(theta), который мы можем переставить в наше окончательное уравнение:
theta = acos(Ax / ||A||)
или в нашем случае:
theta = acos(P2'x / ||P2'||)
Мы рассчитываем величину P2', используя ||A|| = sqrt(Ax + Ay + Az)
||P2'|| = sqrt(1 + 1 + 0) = sqrt(2)
Включив, что мы можем решить для тета
theta = acos(1 / sqrt(2)) = 45 degrees
Теперь давайте использовать матрицу вращения, чтобы повернуть сцену на -45 градусов. Поскольку P2'y положительна, а матрица вращения вращается против часовой стрелки, мы будем использовать отрицательное вращение, чтобы выровнять P2 по оси x (если P2'y отрицательно, не отрицайте тета).
R(theta) = [cos(theta) -sin(theta)]
[sin(theta) cos(theta)]
R(-45) = [cos(-45) -sin(-45)]
[sin(-45) cos(-45)]
Мы будем использовать двойную простую запись '', чтобы обозначить векторы, которые были как переведены, так и повернуты.
P1'' = [0,0] (no need to calculate this one)
P2'' = [1 cos(-45) - 1 sin(-45)] = [sqrt(2)] = [1.414]
[1 sin(-45) + 1 cos(-45)] = [0] = [0]
P3'' = [3 cos(-45) - (-1) sin(-45)] = [sqrt(2)] = [ 1.414]
[3 sin(-45) + (-1) cos(-45)] = [-2*sqrt(2)] = [-2.828]
Теперь вы можете использовать P1'', P2'' и P3'', чтобы решить за P4''. Примените обратное вращение к P4 '', чтобы получить P4', затем обратный перевод, чтобы получить P4, вашу центральную точку.
Чтобы отменить вращение, умножьте P4 '' на R(-theta), в этом случае R(45). Чтобы отменить перевод, вычтите вектор смещения V, который аналогичен добавлению P1 (при условии, что вы использовали -P1 как ваш V изначально).
Это алгоритм, который я использую в прошивке 3D-принтера. Он избегает вращения системы координат, но может быть не лучшим.
Есть 2 решения проблемы трилатерации. Чтобы получить второе, замените "- sqrtf" на "+ sqrtf" в решении квадратного уравнения.
Очевидно, что вы можете использовать двойные числа вместо числа с плавающей запятой, если у вас достаточно мощности процессора и памяти.
// Primary parameters
float anchorA[3], anchorB[3], anchorC[3]; // XYZ coordinates of the anchors
// Derived parameters
float Da2, Db2, Dc2;
float Xab, Xbc, Xca;
float Yab, Ybc, Yca;
float Zab, Zbc, Zca;
float P, Q, R, P2, U, A;
...
inline float fsquare(float f) { return f * f; }
...
// Precompute the derived parameters - they don't change unless the anchor positions change.
Da2 = fsquare(anchorA[0]) + fsquare(anchorA[1]) + fsquare(anchorA[2]);
Db2 = fsquare(anchorB[0]) + fsquare(anchorB[1]) + fsquare(anchorB[2]);
Dc2 = fsquare(anchorC[0]) + fsquare(anchorC[1]) + fsquare(anchorC[2]);
Xab = anchorA[0] - anchorB[0];
Xbc = anchorB[0] - anchorC[0];
Xca = anchorC[0] - anchorA[0];
Yab = anchorA[1] - anchorB[1];
Ybc = anchorB[1] - anchorC[1];
Yca = anchorC[1] - anchorA[1];
Zab = anchorB[2] - anchorC[2];
Zbc = anchorB[2] - anchorC[2];
Zca = anchorC[2] - anchorA[2];
P = ( anchorB[0] * Yca
- anchorA[0] * anchorC[1]
+ anchorA[1] * anchorC[0]
- anchorB[1] * Xca
) * 2;
P2 = fsquare(P);
Q = ( anchorB[1] * Zca
- anchorA[1] * anchorC[2]
+ anchorA[2] * anchorC[1]
- anchorB[2] * Yca
) * 2;
R = - ( anchorB[0] * Zca
+ anchorA[0] * anchorC[2]
+ anchorA[2] * anchorC[0]
- anchorB[2] * Xca
) * 2;
U = (anchorA[2] * P2) + (anchorA[0] * Q * P) + (anchorA[1] * R * P);
A = (P2 + fsquare(Q) + fsquare(R)) * 2;
...
// Calculate Cartesian coordinates given the distances to the anchors (La, Lb and Lc)
// First calculate PQRST such that x = (Qz + S)/P, y = (Rz + T)/P.
// P, Q and R depend only on the anchor positions, so they are pre-computed
const float S = - Yab * (fsquare(Lc) - Dc2)
- Yca * (fsquare(Lb) - Db2)
- Ybc * (fsquare(La) - Da2);
const float T = - Xab * (fsquare(Lc) - Dc2)
+ Xca * (fsquare(Lb) - Db2)
+ Xbc * (fsquare(La) - Da2);
// Calculate quadratic equation coefficients
const float halfB = (S * Q) - (R * T) - U;
const float C = fsquare(S) + fsquare(T) + (anchorA[1] * T - anchorA[0] * S) * P * 2 + (Da2 - fsquare(La)) * P2;
// Solve the quadratic equation for z
float z = (- halfB - sqrtf(fsquare(halfB) - A * C))/A;
// Substitute back for X and Y
float x = (Q * z + S)/P;
float y = (R * z + T)/P;
Вот расчеты из Википедии, представленные в сценарии OpenSCAD, которые, я думаю, помогают понять проблему визуально и предоставляют простой способ проверить правильность результатов. Пример вывода из скрипта
// Trilateration example
// from Wikipedia
//
// pA, pB and pC are the centres of the spheres
// If necessary the spheres must be translated
// and rotated so that:
// -- all z values are 0
// -- pA is at the origin
pA = [0,0,0];
// -- pB is on the x axis
pB = [10,0,0];
pC = [9,7,0];
// rA , rB and rC are the radii of the spheres
rA = 9;
rB = 5;
rC = 7;
if ( pA != [0,0,0]){
echo ("ERROR: pA must be at the origin");
assert(false);
}
if ( (pB[2] !=0 ) || pC[2] !=0){
echo("ERROR: all sphere centers must be in z = 0 plane");
assert(false);
}
if (pB[1] != 0){
echo("pB centre must be on the x axis");
assert(false);
}
// show the spheres
module spheres(){
translate (pA){
sphere(r= rA, $fn = rA * 10);
}
translate(pB){
sphere(r = rB, $fn = rB * 10);
}
translate(pC){
sphere (r = rC, $fn = rC * 10);
}
}
function unit_vector( v) = v / norm(v);
ex = unit_vector(pB - pA) ;
echo(ex = ex);
i = ex * ( pC - pA);
echo (i = i);
ey = unit_vector(pC - pA - i * ex);
echo (ey = ey);
d = norm(pB - pA);
echo (d = d);
j = ey * ( pC - pA);
echo (j = j);
x = (pow(rA,2) - pow(rB,2) + pow(d,2)) / (2 * d);
echo( x = x);
// size of the cube to subtract to show
// the intersection of the spheres
cube_size = [10,10,10];
if ( ((d - rA) >= rB) || ( rB >= ( d + rA)) ){
echo ("Error Y not solvable");
}else{
y = (( pow(rA,2) - pow(rC,2) + pow(i,2) + pow(j,2)) / (2 * j))
- ( i / j) * x;
echo(y = y);
zpow2 = pow(rA,2) - pow(x,2) - pow(y,2);
if ( zpow2 < 0){
echo ("z not solvable");
}else{
z = sqrt(zpow2);
echo (z = z);
// subtract a cube with one of its corners
// at the point where the sphers intersect
difference(){
spheres();
translate ([x,y - cube_size[1],z]){
cube(cube_size);
}
}
translate ([x,y - cube_size[1],z]){
%cube(cube_size);
}
}
}