quadprog не может найти решение

Question

Я пытаюсь оптимизировать расположение набора ящиков по месту их вешалки, чтобы ящики были максимально выровнены со своими вешалками и не вытесняли друг друга. Использование quadprog.

Гивенс:

1.  box hanger x-locations (P). =710  850  990 1130
2.  box-sizes (W). =690 550 690 130 
3.  usable x-spread tuple (S). =-150 2090
4.  number of boxes (K). =4
5.  minimum interbox spread (G). =50
6.  box x-locations (X). =objective

Мы можем видеть, что полный требуемый x-разброс равен сумме (W) + 3G = 2060 + 150 = 2210, тогда как доступный x-разброс равен S [2] - S 1 = 2240. Таким образом, решение должно существовать.

Min:

sumof (P[i] – X[i])^2

s.t.: 

(1) X [i + i] - X[i] >= G + ½ ( W[i+1] + W[i]); я = 1..(К-1), то есть ящики не вытесняют друг друга

        -X[i] + X[i+1] >= -( -G – ½ (W[i+1] + W[i]) )

(2) X 1 > = S [левый] + ½ W 1 и (3) X[K] <= S[правый] - ½ W[K], т. Е. Прямоугольники находятся в заданном x-разбросе

        X[1] >= - ( S[left] + ½ W[1] )
        -X[K] >= - ( S[right] – ½ W[K] )

всего 5 ограничений - 3 для спреда между боксами и 2 для конечностей.

в R:

> Dmat = matrix(0,4,4)
> diag(Dmat) = 1
> dvec = P, the hanger locations
[1]  710  850  990 1130
> bvec 
[1] -670 -670 -460 -195 2025
> t(Amat)
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]   -1    1    0    0
[2,]    0   -1    1    0
[3,]    0    0   -1    1
[4,]    1    0    0    0
[5,]    0    0    0   -1
> solve.QP(Dmat, dvec, Amat, bvec)
Error in solve.QP(Dmat, dvec, Amat, bvec) : 
  constraints are inconsistent, no solution!

Совершенно очевидно, что я пропустил или неправильно указал проблему ( пакет 'quadprog')! Я использую quadprog, так как я нашел его порт JavaScript.

Большое спасибо.

Answer 1

Я не уверен, что это решит вашу физическую проблему, но приведенный ниже код, похоже, решает проблему оптимизации, как вы ее заявили. Я обобщил его на переменное количество блоков и включил график, чтобы проверить решение.

  library(quadprog)
  p  <- c(710,  850,  990, 1130)   # hanger positions
  w  <- c(690, 550, 690, 130)      # box widths
  g <- 50                          # min box separation
  s <- c(-150, 2390)               # min and max postions of box edges

  k <- length(w)                   # number of boxes
  Dmat <- 2*diag(nrow=k)
  dvec <- p
# separation constraints
  Amat <- -diag(nrow=k,ncol=(k-1))
  Amat[lower.tri(Amat)] <- unlist(lapply((k-1):1, function(n) c(1,numeric(n-1))))
  bvec <- sapply(1:(k-1), function(n) g + (w[n+1]+w[n])/2)
# x-spread constraints
  Amat <- cbind(Amat, c(1,numeric(k-1)), c(numeric(k-1),-1))
  bvec <- c(bvec, s[1] + w[1]/2, -(s[2] - w[k]/2))

  sol <- solve.QP(Dmat, dvec, Amat, bvec)
  plot(x=s, y=c(0,0), type="l", ylim=c(-2.5,0))
  points(x=p, y=numeric(k), pch=19)
  segments(x0=sol$solution, y0=-1, x1=p, y1=0)
  rect(xleft=sol$solution-w/2, xright=sol$solution+w/2, ytop=-1.0, ybottom=-2, density=8)

Answer 2

Проблема заключается в настройке Amat, bvec или оба. solve.QP пытается найти решение, bзадачи квадратичного программирования при условии ограничения

t(Amat)*b >= bvec

Расширяя это ограничение в вашем примере, мы хотим найти вектор b := c(b[1], b[2], b[3], b[4]) что удовлетворяет условиям:

• -b[1] + b[2] >= -670,

• -b[2] + b[3] >= -670,

• -b[3] + b[4] >= -460,

• b[1] >= -195

• а также -b[4] >= 2025 (То есть, b[4] <= -2025).

Однако, сложив вместе первые четыре неравенства, мы имеем b[4] >= -670-670-460-195 = -1995, Другими словами, b[4] должен быть больше чем -1995 и меньше чем -2025, Это противоречие и, следовательно, solve.QP не может найти решение.

Попытка этого примера с ограничением -b[4] >= -2025, установив bvec = c(-670, -670, -460, -195, -2025) дает решение. Не вдаваясь слишком в вашу формулировку выше, возможно, это было задумано (или другое из этих значений должно было быть положительным)?