Зачем рассчитывать якобиан в экф-шлеме

Question

Я знаю, что это очень простой вопрос, но я хочу знать, почему мы вычисляем матрицы Якоби в EKF-SLAM, я так старался понять это, ну, это не так сложно, но я хочу это знать. Мне было интересно, может ли кто-нибудь помочь мне в этом.

Answer 1

Фильтр Калмана работает на линейных системах. Шаги обновляют две части параллельно: состояние xи ковариации ошибок P, В линейной системе мы предсказываем следующее x от Fx, Оказывается, вы можете вычислить точную ковариацию Fx как FPF^T, В нелинейной системе мы можем обновить x как f(x), но как мы обновляем P? Есть два популярных подхода:

1. В EKF мы выбираем линейное приближение f() в x, а затем использовать обычный метод FPF^T,
2. В UKF мы строим приближение распределения x с ковариацией P, Аппроксимация представляет собой набор точек, называемых сигма-точками. Затем мы распространяем эти состояния через наш реальный f(sigma_point) и мы измеряем полученную дисперсию распределения.

Вы обеспокоены EKF (случай 1). Что такое хорошее линейное приближение функции? Если вы увеличиваете масштаб кривой, она начинает выглядеть как прямая линия с наклоном, который является производной от функции в этой точке. Если это звучит странно, посмотрите на серию Тейлора. Многовариантный эквивалент называется якобианом. Таким образом, мы оцениваем якобиан f() в x чтобы дать нам F, Сейчас Fx != f(x), но это нормально, пока изменения, которые мы вносим в x малы (достаточно малы, чтобы наши F не сильно изменится до и после).

Основная проблема с EKF-приближением состоит в том, что когда мы используем аппроксимацию для обновления распределений после шага измерения, это приводит к получению ковариации P слишком низко. Он действует как исправление "работает" линейно. Фактическое обновление будет немного отличаться от линейного приближения и будет не таким хорошим. Это небольшое количество чрезмерной уверенности накапливается по мере итерации KF и должно быть компенсировано добавлением некоторого фиктивного шума процесса Q,