Чистый способ Python для вычисления мультипликативного обратного в gf(2^8) с использованием Python 3

Question

Как бы я реализовать мультипликативный обратный в GF2^8 в Python 3? Мои текущие функции выглядят так:

def gf_add(a, b):
    return a ^ b

def gf_mul(a, b, mod=0x1B):
    p = bytes(hex(0x00))
    for i in range(8):
        if (b & 1) != 0:
            p ^= a
        high_bit_set = bytes(a & 0x80)
        a <<= 1
        if high_bit_set != 0:
            a ^= mod
        b >>= 1
    return p

Answer 1

Вот как я это сделаю:

def gf_degree(a) :
  res = 0
  a >>= 1
  while (a != 0) :
    a >>= 1;
    res += 1;
  return res

def gf_invert(a, mod=0x1B) :
  v = mod
  g1 = 1
  g2 = 0
  j = gf_degree(a) - 8

  while (a != 1) :
    if (j < 0) :
      a, v = v, a
      g1, g2 = g2, g1
      j = -j

    a ^= v << j
    g1 ^= g2 << j

    a %= 256  # Emulating 8-bit overflow
    g1 %= 256 # Emulating 8-bit overflow

    j = gf_degree(a) - gf_degree(v)

  return g1

Функция gf_degree вычисляет степень многочлена, и gf_invertестественно, инвертирует любой элемент GF(2^8), кроме 0, конечно. Реализация gf_invert следует алгоритму "учебника" при нахождении мультипликативной инверсии элементов конечного поля.

пример

print(gf_invert(5))   # 82
print(gf_invert(1))   #  1
print(gf_invert(255)) # 28

Вот живая демонстрация.

Как упоминалось в комментариях, вы также могли бы использовать логарифмический подход или просто использовать грубую силу (пробуя каждую комбинацию умножения).

Answer 2

Вы можете посмотреть на мой модуль libgf2 (который никто больше не использует) и использовать GF2Element:

from libgf2 import GF2Element

x = GF2Element(0x8, 0x11B)
x.inv 
# find the inverse of x^3 in the quotient ring GF(2)[x]/p(x)
# where p(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1 (0x11B in bit vector format)

Смотрите эту статью в блоге для более подробной информации.

---

Примечание: libgf2 находится в Python 2.7, поэтому вам придется портировать на Python 3, но это довольно маленькая библиотека.