Как рассчитать дисперсию оценки наименьших квадратов, используя QR-разложение в R?

Question

Я пытаюсь изучить QR-декомпозицию, но не могу понять, как получить дисперсию beta_hat, не прибегая к традиционным матричным вычислениям. Я тренируюсь с iris набор данных, и вот что у меня так далеко:

y<-(iris$Sepal.Length)
x<-(iris$Sepal.Width)
X<-cbind(1,x)
n<-nrow(X)
p<-ncol(X)
qr.X<-qr(X)
b<-(t(qr.Q(qr.X)) %*% y)[1:p]
R<-qr.R(qr.X)
beta<-as.vector(backsolve(R,b))
res<-as.vector(y-X %*% beta)

Спасибо за вашу помощь!

Answer 1

настройка (копирование в ваш код)

y <- iris$Sepal.Length
x <- iris$Sepal.Width
X <- cbind(1,x)
n <- nrow(X)
p <- ncol(X)
qr.X <- qr(X)
b <- (t(qr.Q(qr.X)) %*% y)[1:p]  ## can be optimized; see Remark 1 below
R <- qr.R(qr.X)  ## can be optimized; see Remark 2 below
beta <- as.vector(backsolve(R, b))
res <- as.vector(y - X %*% beta)

математический

вычисление

Остаточная степень свободы n - p, так что предполагаемая дисперсия

se2 <- sum(res ^ 2) / (n - p)

Таким образом, ковариационная матрица дисперсии оценочных коэффициентов

V <- chol2inv(R) * se2

#           [,1]         [,2]
#[1,]  0.22934170 -0.07352916
#[2,] -0.07352916  0.02405009

Проверка

Давайте проверим правильность, сравнив с lm:

fit <- lm(Sepal.Length ~ Sepal.Width, iris)

vcov(fit)

#            (Intercept) Sepal.Width
#(Intercept)  0.22934170 -0.07352916
#Sepal.Width -0.07352916  0.02405009

Одинаковый результат!

---

Замечание 1 (пропустить формирование коэффициента 'Q')

Вместо b <- (t(qr.Q(qr.X)) %*% y)[1:p]Вы можете использовать функцию qr.qty (чтобы избежать формирования матрицы 'Q'):

b <- qr.qty(qr.X, y)[1:p]

Замечание 2 (пропустить формирование коэффициента 'R')

Вам не нужно извлекать R <- qr.R(qr.X) за backsolve; с помощью qr.X$qr достаточно:

beta <- as.vector(backsolve(qr.X$qr, b))

---

Приложение: функция для оценки

Вышесказанное является самой простой демонстрацией. На практике необходимо иметь дело с поворотом столбца и недостатком ранга. Ниже приведена реализация. X это матрица модели и y это ответ. Результаты должны быть сопоставлены с lm(y ~ X + 0),

qr_estimation <- function (X, y) {
  ## QR factorization
  QR <- qr(X)
  r <- QR$rank
  piv <- QR$pivot[1:r]
  ## estimate identifiable coefficients
  b <- qr.qty(QR, y)[1:r]
  beta <- backsolve(QR$qr, b, r)
  ## fitted values
  yhat <- base::c(X[, piv] %*% beta)
  ## residuals
  resi <- y - yhat
  ## error variance
  se2 <- base::c(crossprod(resi)) / (nrow(X) - r)
  ## variance-covariance for coefficients
  V <- chol2inv(QR$qr, r) * se2
  ## post-processing on pivoting and rank-deficiency
  p <- ncol(X)
  beta_full <- rep.int(NA_real_, p)
  beta_full[piv] <- beta
  V_full <- matrix(NA_real_, p, p)
  V_full[piv, piv] <- V
  ## return
  list(coefficients = beta_full, vcov = V_full,
       fitted.values = yhat, residuals = resi, sig = sqrt(se2))
  }