Симптиевая геометрическая алгебра: переключение между ковариантной и контравариантной формами

Question

Этот вопрос касается того, чтобы модуль геометрической алгебры Симпи использовал и ковариантные, и контравариантные векторные формы, чтобы сделать вывод намного более компактным. Пока что я могу использовать один или другой, но не оба вместе. Может быть, я недостаточно хорошо знаю математику, и ответ в конце концов есть в документации.

Немного предыстории:

У меня есть система уравнений, которую я хочу решить в сложной неортогональной системе координат. Метрические тензорные элементы этой системы координат известны, но их выражения громоздки, поэтому я хотел бы скрыть их и просто использовать g_ij, квадратный корень его определителя J и g^ij. Также полезно описать векторы V в их контравариантной или ковариантной формах,

V = ∑V_i eⁱ = ∑Vⁱ e_i,

и преобразовывать между ними, где это необходимо.

Здесь eⁱ = ∇u(i) и u(i) - i-^я координата, а e_i = ∂R / ∂u(i). Это обозначение такое же, как и в этом бесценном тексте, который я не могу рекомендовать больше. В частности, глава 2 будет полезна для этого вопроса.

В системе уравнений я пытаюсь решить множество скручиваний и операций расходимости. Первый наиболее просто выражается с помощью контравариантной формы вектора a, а второй - с помощью коварианта:

∇.V = 1 / J ∑∂_u(i) JVⁱ,

V x V = ε^ijk/ J (∂_u(i) V_i) e_i,

где ε^ijk - символ Леви-Чевитты. Я бы посчитал, что на этот вопрос ответили, если бы я мог напечатать вышеупомянутые два уравнения, используя модуль геометрической алгебры Симпи.

Как сконфигурировать модуль геометрической алгебры sympy для выражения вычислений таким образом, то есть используя ковариантные и контравариантные векторные выражения, чтобы скрыть сложную природу системы координат?

Может быть, есть альтернативный набор инструментов, который делает именно это?