Подгонка параметрических кривых в Python

Question

У меня есть экспериментальные данные вида (X,Y) и теоретическая модель формы (x(t;*params),y(t;*params)) где t является физической (но ненаблюдаемой) переменной, и *params параметры, которые я хочу определить. t является непрерывной переменной, и существует соотношение 1:1 между x а также t и между y а также t в модели.

В идеальном мире я бы знал ценность T (реальное значение параметра) и будет в состоянии сделать чрезвычайно простые наименьших квадратов, чтобы найти значения *params, (Обратите внимание, что я не пытаюсь "соединить" значения x а также y в моем графике, как в 31243002 или 31464345.) Я не могу гарантировать, что в моих реальных данных скрытое значение T является монотонным, так как мои данные собираются за несколько циклов.

Я не очень опытен в подборе кривых вручную, и мне приходится использовать чрезвычайно грубые методы без легкого доступа к основной функции scipy. Мой основной подход включает в себя:

1. Выберите значение *params и применить его к модели
2. Взять массив t значения и положить его в модель, чтобы создать массив model(*params) = (x(*params),y(*params))
3. интерполировать X (значения данных) в model получить Y_predicted
4. Запустите сравнение наименьших квадратов (или другое) между Y а также Y_predicted
5. Сделайте это снова для нового набора *params
6. В конце концов, выберите лучшие значения для *params

Есть несколько очевидных проблем с этим подходом.

1) Я не достаточно опытен в кодировании, чтобы разработать очень хорошее "сделай это снова", кроме "попробуй все в пространстве решений", возможно,"попробуй все в грубой сетке", а затем "попробуй все снова немного более тонкая сетка в горячих точках грубой сетки ". Я пытался использовать методы MCMC, но я не нашел оптимальных значений, в основном из-за проблемы 2

2) Шаги 2-4 супер неэффективны сами по себе.

Я пробовал что-то вроде (напоминает псевдокод; реальные функции составлены). При использовании широковещательной рассылки на А, В можно сделать много незначительных споров, но они менее важны, чем проблема необходимости интерполировать каждый отдельный шаг.

Люди, которых я знаю, рекомендовали использовать какой-то алгоритм максимизации ожиданий, но я не знаю достаточно об этом, чтобы кодировать его с нуля. Я действительно надеюсь, что есть какой-то потрясающий алгоритм scipy (или иным образом с открытым исходным кодом), который я не смог найти, который охватывает всю мою проблему, но на данный момент я не надеюсь.

import numpy as np
import scipy as sci
from scipy import interpolate

X_data
Y_data

def x(t,A,B):
    return A**t + B**t
def y(t,A,B):
    return A*t + B

def interp(A,B):
    ts = np.arange(-10,10,0.1)
    xs = x(ts,A,B)
    ys = y(ts,A,B)
    f = interpolate.interp1d(xs,ys)
    return f

N = 101
lsqs = np.recarray((N**2),dtype=float)

count = 0
for i in range(0,N):
    A = 0.1*i            #checks A between 0 and 10
    for j in range(0,N):
        B = 10 + 0.1*j   #checks B between 10 and 20

        f = interp(A,B)
        y_fit = f(X_data)
        squares = np.sum((y_fit - Y_data)**2)

        lsqs[count] = (A,b,squares) #puts the values in place for comparison later
        count += 1        #allows us to move to the next cell

i = np.argmin(lsqs[:,2])

A_optimal = lsqs[i][0]
B_optimal = lsqs[i][1]

Answer 1

Если я правильно понимаю вопрос, параметры являются константами, которые одинаковы в каждом образце, но t варьируется от образца к образцу. Так, например, может быть, у вас есть целая куча точек, которые, по вашему мнению, были взяты из круга

x = a+r cos(t)   
y = b+r sin(t)

при разных значениях t,

В этом случае я бы исключил переменную t чтобы получить связь между x а также y -- в этом случае, (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2, Если ваши данные идеально соответствуют модели, вы бы (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 на каждой из ваших точек данных. С некоторой ошибкой вы все равно можете найти (a,b,r) минимизировать

sum_i ((x_i-a)^2 + (y_i-b)^2 - r^2)^2.

Команда Mathematica Eliminate может автоматизировать процедуру устранения t в некоторых случаях.

PS Вы могли бы сделать лучше в stats.stackexchange, math.stackexchange или mathoverflow.net. Я знаю, что у последнего страшная репутация, но мы не кусаемся, правда!