Численные ошибки при решении Ax=b в MATLAB
Я пытаюсь решить систему Ax = b в MATLAB, где A является треугольной матрицей 30x30 со значениями (ненулевыми) в диапазоне от 1e-14 в 0.7, а также b является вектором столбца из 30 элементов со значениями от 1e-3 в 1e3, Когда я вхожу x = A\bЯ получаю ответ и никаких предупреждающих сообщений, но ответ не является разумным (выглядит как случайные числа в нижней части вектора). Я предполагаю, что это связано с числовыми ошибками.
Сообщение 5 на этой странице предлагает разложить / масштабировать матрицу, чтобы избежать числовых ошибок, но я не смог выяснить, как рассчитать матрицы масштабирования.
Таким образом, вопрос заключается в следующем: действительно ли это пример числовой нестабильности, и если да, то как мне изменить масштаб моей матрицы A или изменить то, как MATLAB выполняет вычисления, чтобы избежать этого?
Вот матрица и вектор, которые создают проблему:
A =
Columns 1 through 15
0.69 0.4278 0.19893 0.082223 0.031861 0.011852 0.0042866 0.0015187 0.00052965 0.00018243 6.221e-05 2.1038e-05 7.0653e-06 2.3587e-06 7.8344e-07
0 0.4761 0.44277 0.27452 0.14183 0.065953 0.028624 0.011831 0.0047156 0.0018273 0.00069233 0.00025755 9.4356e-05 3.4126e-05 1.2206e-05
0 0 0.32851 0.40735 0.3157 0.19573 0.10618 0.052668 0.02449 0.010846 0.004623 0.0019108 0.00077007 0.00030383 0.00011773
0 0 0 0.22667 0.35134 0.32675 0.23635 0.14653 0.081766 0.042246 0.02058 0.0095696 0.0042851 0.0018597 0.00078615
0 0 0 0 0.1564 0.29091 0.31564 0.26093 0.182 0.11284 0.064129 0.03408 0.017168 0.0082788 0.0038496
0 0 0 0 0 0.10792 0.23418 0.29039 0.27006 0.2093 0.14274 0.088499 0.05095 0.02764 0.014281
0 0 0 0 0 0 0.074464 0.18467 0.25761 0.2662 0.22694 0.16884 0.1134 0.070311 0.040868
0 0 0 0 0 0 0 0.05138 0.14335 0.22219 0.25256 0.23488 0.18931 0.13694 0.090965
0 0 0 0 0 0 0 0 0.035452 0.1099 0.18738 0.23235 0.2341 0.2032 0.15748
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.024462 0.083415 0.15515 0.20842 0.22614 0.21031
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.016879 0.062789 0.12652 0.18303 0.21277
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.011646 0.046935 0.10185 0.15786
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.008036 0.034876 0.081087
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0055448 0.025783
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0038259
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Columns 16 through 30
2.5906e-07 8.5327e-08 2.8007e-08 9.1646e-09 2.9906e-09 9.7342e-10 3.1613e-10 1.0246e-10 3.3142e-11 1.0702e-11 3.4504e-12 1.1108e-12 3.5709e-13 1.1465e-13 3.6767e-14
4.3246e-06 1.5194e-06 5.2988e-07 1.8359e-07 6.3236e-08 2.1667e-08 7.3883e-09 2.5085e-09 8.4833e-10 2.8585e-10 9.5998e-11 3.214e-11 1.073e-11 3.5726e-12 1.1866e-12
4.492e-05 1.6909e-05 6.2902e-06 2.3156e-06 8.445e-07 3.0543e-07 1.0963e-07 3.9084e-08 1.3847e-08 4.8779e-09 1.7094e-09 5.9615e-10 2.0698e-10 7.1568e-11 2.4651e-11
0.00032494 0.00013173 5.2503e-05 2.0616e-05 7.9887e-06 3.0592e-06 1.1591e-06 4.3497e-07 1.6181e-07 5.9715e-08 2.1877e-08 7.9615e-09 2.8794e-09 1.0354e-09 3.7037e-10
0.0017358 0.00076232 0.00032721 0.00013766 5.69e-05 2.3151e-05 9.2878e-06 3.679e-06 1.4406e-06 5.5824e-07 2.1426e-07 8.1515e-08 3.0763e-08 1.1523e-08 4.2867e-09
0.0070833 0.0033935 0.001578 0.00071495 0.00031662 0.00013741 5.8573e-05 2.4566e-05 1.0154e-05 4.1418e-06 1.6691e-06 6.6527e-07 2.6248e-07 1.0259e-07 3.9755e-08
0.022523 0.01187 0.0060211 0.0029554 0.0014095 0.00065541 0.00029799 0.00013279 5.8116e-05 2.5022e-05 1.0615e-05 4.4423e-06 1.8361e-06 7.5031e-07 3.0339e-07
0.056398 0.033024 0.018428 0.0098671 0.005098 0.0025529 0.0012436 0.00059114 0.00027488 0.00012531 5.6113e-05 2.4719e-05 1.0728e-05 4.5926e-06 1.9414e-06
0.11158 0.073506 0.045573 0.026843 0.01513 0.0082078 0.0043059 0.0021929 0.0010877 0.00052686 0.00024979 0.00011615 5.3064e-05 2.3852e-05 1.0563e-05
0.17385 0.13089 0.091294 0.059747 0.037043 0.021923 0.012459 0.0068335 0.0036315 0.0018763 0.00094518 0.00046536 0.00022441 0.00010618 4.9374e-05
0.21107 0.18539 0.14778 0.10881 0.074955 0.048796 0.030253 0.017976 0.010288 0.0056949 0.0030601 0.0016008 0.00081734 0.00040822 0.00019981
0.19575 0.20632 0.19188 0.16145 0.12513 0.090508 0.061727 0.04001 0.024806 0.014788 0.0085139 0.0047507 0.0025773 0.0013629 0.00070418
0.13406 0.17663 0.19712 0.1935 0.17139 0.13947 0.10569 0.075354 0.050967 0.032916 0.020408 0.012201 0.0070603 0.003967 0.0021702
0.063943 0.11233 0.1567 0.18459 0.19074 0.17739 0.15122 0.1198 0.089133 0.062798 0.042179 0.027157 0.016837 0.010091 0.0058655
0.018977 0.050003 0.093006 0.13695 0.16982 0.18425 0.17952 0.15999 0.13226 0.1025 0.075107 0.052387 0.034978 0.022461 0.013926
0.0026399 0.013912 0.038815 0.076207 0.11812 0.15379 0.17481 0.17806 0.16559 0.14259 0.11493 0.087452 0.063257 0.043745 0.029059
0 0.0018215 0.010164 0.029933 0.061862 0.10068 0.13733 0.16319 0.17345 0.16803 0.15048 0.12595 0.099387 0.074457 0.053266
0 0 0.0012569 0.0074028 0.022949 0.049799 0.084907 0.12108 0.15014 0.16622 0.16747 0.15575 0.13519 0.11049 0.085626
0 0 0 0.00086723 0.0053768 0.017502 0.039787 0.07092 0.10553 0.13631 0.15695 0.16421 0.15837 0.14237 0.12037
0 0 0 0 0.00059839 0.0038955 0.013284 0.031571 0.058722 0.091019 0.12227 0.1462 0.15862 0.15845 0.14736
0 0 0 0 0 0.00041289 0.0028159 0.010039 0.024896 0.048236 0.077756 0.10847 0.1345 0.15115 0.15618
0 0 0 0 0 0 0.00028489 0.0020313 0.0075564 0.019521 0.039334 0.065845 0.095256 0.12234 0.14222
0 0 0 0 0 0 0 0.00019658 0.0014625 0.0056673 0.015226 0.031861 0.05531 0.082873 0.1101
0 0 0 0 0 0 0 0 0.00013564 0.0010512 0.0042363 0.011819 0.025648 0.046115 0.071478
0 0 0 0 0 0 0 0 0 9.359e-05 0.00075433 0.0031569 0.0091339 0.020528 0.038183
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.4577e-05 0.00054051 0.0023458 0.0070296 0.016344
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.4558e-05 0.00038676 0.0017385 0.0053894
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.0745e-05 0.0002764 0.0012852
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.1214e-05 0.00019729
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.4638e-05
b =
3712
246.89
43.304
22.55
14.897
10.066
6.8138
4.6131
3.1232
2.1146
1.4316
0.96927
0.65623
0.44429
0.3008
0.20365
0.13788
0.093351
0.063202
0.04279
0.02897
0.019614
0.013279
0.0089906
0.006087
0.0041211
0.0027902
0.001889
0.0012789
0.00086589
Файл.mat с переменными полной точности можно найти здесь.
Вот результаты, которые я получаю на своей машине (Matlab R2013a на OS X 10.10.5):
>> x=A\b
x =
5087.6
433.99
64.166
27.995
19.494
14.546
10.934
8.2265
6.1834
4.6933
3.2779
3.8272
-3.5375
23.953
-79.278
254.22
-702.1
1713.2
-3658.2
6822.7
-11046
15412
-18349
18393
-15244
10181
-5273.4
1992.3
-489.85
59.155
Хотя norm(A*x-b) возвращает значение порядка 1e-13, результаты не являются физически обоснованными, учитывая проблему, которую я пытаюсь решить (значения в x должны быть монотонно убывающими, и ни одно из них не должно быть отрицательным). В качестве примера, вот аналогичный набор данных, который возвращает правильное (выглядящее) решение с той же матрицей A:
>> c
c =
5142.1
339.52
22.417
1.4802
0.097731
0.0064529
0.00042607
2.8132e-05
1.8575e-06
1.2265e-07
8.0979e-09
5.3469e-10
3.5304e-11
2.331e-12
1.5391e-13
1.0162e-14
6.7099e-16
4.4304e-17
2.9253e-18
1.9315e-19
1.2753e-20
8.4205e-22
5.5598e-23
3.671e-24
2.4239e-25
1.6004e-26
1.0567e-27
6.9771e-29
4.6068e-30
3.0418e-31
>> x = A\c
x =
7029.1
653.25
60.709
5.642
0.52434
0.04873
0.0045287
0.00042087
3.9114e-05
3.635e-06
3.3782e-07
3.1395e-08
2.9177e-09
2.7116e-10
2.52e-11
2.342e-12
2.1765e-13
2.0227e-14
1.8798e-15
1.747e-16
1.6236e-17
1.5089e-18
1.4023e-19
1.3033e-20
1.21e-21
1.1339e-22
9.9766e-24
1.1858e-24
2.3902e-26
2.078e-26