Как найти матрицу преобразования на выходе с гауссовым шумом?
Для приведенных ниже входных и выходных данных матрица A
можно узнать с помощью псевдообратного или mrdivision
в MATLAB. Точно так же я хотел бы теперь узнать, как определитьA
, если мой выходной сигнал Y
матрица содержит аддитивное нулевое среднее, некоррелированный, гауссовский шум?
x1 = [1 1 1]';
x2 = [0 1 1]';
x3 = [0 0 1]';
x4 = [1 0 1]';
y1 = [1 2 0]';
y2 = [-1 0 3]';
y3 = [3 1 1]';
y4 = [5 3 -2]';
X = [x1 x2 x3 x4];
Y = [y1 y2 y3 y4];
A = Y/X
Кроме того, я смоделировал неизвестный шумный выход, как показано ниже:
y1_n = y1 + sqrt(var(y1))*randn(size(y1));
y2_n = y2 + sqrt(var(y2))*randn(size(y2));
y3_n = y3 + sqrt(var(y3))*randn(size(y3));
y4_n = y4 + sqrt(var(y4))*randn(size(y4));
Y = [y1_n y2_n y3_n y4_n];
1 ответ
Заявление A = Y/X
решает линейную систему уравнений A*X = Y
. Если система переопределена, как в вашем случае, данное решение является решением методом наименьших квадратов. Таким образом, если у вас есть аддитивный, нулевой средний, некоррелированный гауссов шум наY
, тогда A = Y/X
предоставит вам максимально возможную объективную оценку A
.
Обратите внимание, что шум, который вы добавляете Y
матрица довольно велика, поэтому оценка A
далека от идеала. Если добавить меньше шума, оценка будет ближе:
x1 = [1 1 1]';
x2 = [0 1 1]';
x3 = [0 0 1]';
x4 = [1 0 1]';
X = [x1 x2 x3 x4];
y1 = [1 2 0]';
y2 = [-1 0 3]';
y3 = [3 1 1]';
y4 = [5 3 -2]';
Y = [y1 y2 y3 y4];
for n = [1,0.1,0.01,0]
Y_n = Y + n*randn(size(Y));
A = Y_n/X;
fprintf('n = %f, A = \n',n)
disp(A)
end
Выход:
n = 1.000000, A =
2.9728 -5.5407 2.8011
2.6563 -1.3166 0.6596
-3.3366 1.1349 1.5342
n = 0.100000, A =
2.0011 -4.0256 2.9402
1.9223 -1.0029 1.0921
-3.1383 1.9874 1.0913
n = 0.010000, A =
1.9903 -3.9912 2.9987
1.9941 -1.0001 1.0108
-3.0015 2.0001 1.0032
n = 0.000000, A =
2.0000 -4.0000 3.0000
2.0000 -1.0000 1.0000
-3.0000 2.0000 1.0000
Конечно, если вы сделаете X
а также Y
больше, добавив больше векторов, вы также получите лучшую оценку и сможете компенсировать более зашумленные данные.