Кватернионное деление и тангенс гиперболического танга

Question

Кватернионное деление и тангенс гиперболического танга

Умножение кватернионов четко определено и известно мне как "произведение Гамильтона":

// hamilton product
vec4 qmul(in vec4 q1, in vec4 q2) {
    return vec4(
        q1.w * q2.xyz + q2.w * q1.xyz - cross(q1.xyz, q2.xyz),
        q1.w*q2.w - dot(q1.xyz, q2.xyz)
    );
}

Однако для реализации qtanh() кватернионная функция, нам нужно деление. Пока я нашел это, и это работает хорошо. Не могли бы вы помочь мне понять, откуда это?

// division
// https://www.boost.org/doc/libs/1_67_0/boost/math/quaternion.hpp
vec4 qdiv(in vec4 q1, in vec4 q2) {
float denominator = dot(q2,q2);
return vec4( 
    vec3(
        -q1.w*q2.x+q1.x*q2.w-q1.y*q2.z+q1.z*q2.y,
        -q1.w*q2.y+q1.x*q2.z+q1.y*q2.w-q1.z*q2.x,
        -q1.w*q2.z-q1.x*q2.y+q1.y*q2.x+q1.z*q2.w
    ),
    q1.w*q2.w + dot(q1.xyz, q2.xyz)
) / denominator;
}

Кроме того, насколько я пытаюсь реализовать tanh().. знаете ли вы больше о вычислительном НДС, чем о делении sinh и cosh? Для реалов я использовал следующую формулу: tanh(x)=-1+2/(1+exp(-x)), И это включает только одно экспоненциальное исчисление, а не два..

6

glsl linear-algebra quaternions hyperbolic-function

Источник

user1976993 19 апр '19 в 13:21

1 ответ

Решение

Другие вопросы по тегам glsl linear-algebra quaternions hyperbolic-function

user7019311 19 апр '19 в 15:33 2019-04-19 15:33 · Accepted Answer · 2019-04-19 15:33

1. Отдел

Разделение кватерниона с именем p на кватернион с именем q является не чем иным, как умножением p на обратную величину q.

Это эквивалентно умножению p на сопряжение q (которое по определению равно a - bi - cj - dk) и делению произведения на скаляр, равный квадрату q нормы:

$\\{p\over{q}}=p\cdot{q^{-1}}=p\cdot{q^*\over||q||^2}={p\cdot{q^*}\over||q||^2}$

Отсюда очевидно, где это denominator часть исходит от:

$\\||q||=\sqrt{q\cdot{q^*}}\;\;\Rightarrow\;\;||q||^2=q\cdot{q^*}=a^2+b^2+c^2+d^2$

Теперь давайте изменим условия в vec3 суммы для лучшей читаемости:

vec3(
    -q1.w*q2.x + q1.x*q2.w - (q1.y*q2.z - q1.z*q2.y),
    -q1.w*q2.y + q1.y*q2.w - (q1.z*q2.x - q1.x*q2.z),
    -q1.w*q2.z + q1.z*q2.w - (q1.x*q2.y - q1.y*q2.x)
)

И теперь внезапно становится ясно, что происходит:

vec3(
    -q1.w * q2.x    +  q1.x   * q2.w  -  (q1.y*q2.z - q1.z*q2.y),
    -q1.w * q2.y    +  q1.y   * q2.w  -  (q1.z*q2.x - q1.x*q2.z),
    -q1.w * q2.z    +  q1.z   * q2.w  -  (q1.x*q2.y - q1.y*q2.x)
)

...

    -q1.w * q2.xyz  +  q1.xyz * q2.w  -  (cross(q1.xyz, q2.xyz))

Так что да, кватернионное деление - это просто обычное умножение, с умножением, являющимся взаимным. Вот откуда берутся минусы, см. Определение выше.

2. Гиперболический тангенс

Во-первых, определения. Для каждого q = a + bi + cj + dk = a + v̅:

$\\\sinh(q)={{e^q-e^{-q}}\over{2}},\quad\cosh(q)={{e^q+e^{-q}}\over{2}},\quad\tanh(q)={\sinh(q)\over\cosh(q)}={{e^q-e^{-q}}\over{e^q+e^{-q}}}\\e^q=e^a\left(\cos(||\mathrm{v}||)+{\mathrm{v}\over||\mathrm{v}||}\sin(||\mathrm{v}||)\right),\quad||\mathrm{v}||=\sqrt{b^2+c^2+d^2},\quad{e}^{-a}={1\over{e^a}}$

Итак, чтобы получить e^q и e^–q, вам нужно только вычислить следующие значения: e^a, || v̅ ||, грех (|| v̅ ||), cos (|| v̅ ||).

Чтобы вычислить e^–q, вы должны взять обратную величину e^a и умножить ее на остаток уравнения с инвертированными знаками. Это не займет много времени, поскольку все значения, из которых он состоит, уже вычислены. Один exp() звоните, как и просили =)