Как создать случайную ортонормированную матрицу в Python NumPy

Question

Есть ли метод, который я могу вызвать, чтобы создать случайную ортонормированную матрицу в Python? Возможно, используя NumPy? Или есть способ создать ортонормированную матрицу, используя несколько методов numpy? Благодарю.

Answer 1

Это rvs Метод извлечен из https://github.com/scipy/scipy/pull/5622/files с минимальными изменениями - достаточно, чтобы работать как самостоятельная функция numpy.

import numpy as np    

def rvs(dim=3):
     random_state = np.random
     H = np.eye(dim)
     D = np.ones((dim,))
     for n in range(1, dim):
         x = random_state.normal(size=(dim-n+1,))
         D[n-1] = np.sign(x[0])
         x[0] -= D[n-1]*np.sqrt((x*x).sum())
         # Householder transformation
         Hx = (np.eye(dim-n+1) - 2.*np.outer(x, x)/(x*x).sum())
         mat = np.eye(dim)
         mat[n-1:, n-1:] = Hx
         H = np.dot(H, mat)
         # Fix the last sign such that the determinant is 1
     D[-1] = (-1)**(1-(dim % 2))*D.prod()
     # Equivalent to np.dot(np.diag(D), H) but faster, apparently
     H = (D*H.T).T
     return H

Это соответствует тесту Уоррена, /questions/4604816/kak-sozdat-sluchajnuyu-ortonormirovannuyu-matritsu-v-python-numpy/4604841#4604841

Answer 2

Версия 0.18 от scipy имеет scipy.stats.ortho_group а также scipy.stats.special_ortho_group, Запрос на извлечение, где он был добавлен, является https://github.com/scipy/scipy/pull/5622

Например,

In [24]: from scipy.stats import ortho_group  # Requires version 0.18 of scipy

In [25]: m = ortho_group.rvs(dim=3)

In [26]: m
Out[26]: 
array([[-0.23939017,  0.58743526, -0.77305379],
       [ 0.81921268, -0.30515101, -0.48556508],
       [-0.52113619, -0.74953498, -0.40818426]])

In [27]: np.set_printoptions(suppress=True)

In [28]: m.dot(m.T)
Out[28]: 
array([[ 1.,  0., -0.],
       [ 0.,  1.,  0.],
       [-0.,  0.,  1.]])

Answer 3

Вы можете получить случайный n x n ортогональная матрица Q(равномерно распределены по многообразию n x n ортогональные матрицы), выполняя QR факторизация n x n матрица с элементами из гауссовских случайных величин среднего 0 и дисперсия 1, Вот пример:

import numpy as np
from scipy.linalg import qr

n = 3
H = np.random.randn(n, n)
Q, R = qr(H)

print (Q.dot(Q.T))

[[  1.00000000e+00  -2.77555756e-17   2.49800181e-16]
 [ -2.77555756e-17   1.00000000e+00  -1.38777878e-17]
 [  2.49800181e-16  -1.38777878e-17   1.00000000e+00]]

Answer 4

Простой способ создать любую фигуру (n x m) ортогональная матрица:

import numpy as np

n, m = 3, 5

H = np.random.rand(n, m)
u, s, vh = np.linalg.svd(H, full_matrices=False)
mat = u @ vh

print(mat @ mat.T) # -> eye(n)

Обратите внимание, что если n > mбыло бы получить mat.T @ mat = eye(m),

Answer 5

from scipy.stats import special_ortho_group
num_dim=3
x = special_ortho_group.rvs(num_dim)

Документация

Answer 6

Если вам нужна матрица без квадратов с ортонормированными векторами столбцов, вы можете создать квадратную матрицу любым из упомянутых методов и удалить некоторые столбцы.

Answer 7

Numpy также имеет факторизацию qr. https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.linalg.qr.html

      import numpy as np

a = np.random.rand(3, 3)
q, r = np.linalg.qr(a)

q @ q.T
# array([[ 1.00000000e+00,  8.83206468e-17,  2.69154044e-16],
#        [ 8.83206468e-17,  1.00000000e+00, -1.30466244e-16],
#        [ 2.69154044e-16, -1.30466244e-16,  1.00000000e+00]])