Правильная функция Кармайкла

Question

Я создаю все необходимые функции для алгоритма RSA. К сожалению, я не могу сделать правильную функцию Кармайкла.

Это функции, которые я написал:

def gcd(a, b):  # Greatest Common Divisor Generator (Euclidean Algorithm)
    while b != 0:  # While remainder exists
        t = b  # Initially r[k-1]
        b = a % t  # Initially r[k] = r[k-2] mod r[k-1] (where r[k-2] is a)
        a = t  # Predecessor of remainder (b)
    return a

def phi(n):  # Leonard Euler's Totient Function
    y = 0
    for k in range(1, n + 1):  # Phi(+n) is the number of integers k in the range (1 <= k >= n)...
        if gcd(n, k) == 1:  # for which gcd(n, k) = 1
            y += 1
    return y

def carmichael(n):  # Robert Daniel Carmichael's Function
    y = (phi(n) * 1/2) if (n > 4 and ((n & (n - 1)) == 0)) else phi(n)  # phi(n) * 1/2 if 2^x = n, else phi(n) * 1
    return y

Я использую totient функцию для генерации чисел. Насколько мне известно, существует простое правило: если число является степенью 2 и больше 4, количество его простых чисел должно быть уменьшено вдвое, в противном случае оно равно phi(n).

Приведенное выше правило отлично работает в моем коде. Например, если входное значение равно 8, это результаты:

phi(8) = 4
carmichael(8) = 2

Но проблема в том, что функция Кармайкла также почему-то делит пополам другие числа, например, если input равен 12, это то, что возвращают мои функции:

phi(12) = 4
carmichael(12) = 4

Но вот как это должно выглядеть:

phi(12) = 4
carmichael(12) = 2

Почему это происходит? Возможно, не простые нечетные числа должны рассматриваться по-разному? Есть ли что-то, что мне нужно добавить к моей функции?

Спасибо!

Answer 1

Сначала мы создаем gcd функция для вычисления наибольшего общего делителя двух чисел, она нам понадобится позже в лямбда-функции.

 def gcd(a,b):
        while (a>0):
            b=b%a
            (a,b)=(b,a)
        return b    

---

Затем мы посмотрим, как работает функция Кармайкла.

Пусть n - натуральное число. Тогда λ(n) определяется как наименьшее натуральное число k такое, что
a ^ k≡1 (mod n)
для всех таких a, чтоgcd(a,n)=1.

Обратите внимание, что мы ищем k, значения a определяется, когда у нас есть n.

---

Теперь инициализируем функцию условием по умолчанию

n=int(n)
k=2
a=1
alist=[]

---

Чтобы найти все значения, мы используем gcd(a,n)=1чтобы проверить, имеют ли a и n наибольший общий делитель, равный 1, что означает, что они взаимно просты.
Если нет, то ++
еслиgcd(a,n)==1, мы сохраняем это значение в списке a и проверяем следующий a, пока не проверим всеa<=n

        while not ((gcd(a,n))==1):
            a=a+1

        while ((gcd(a,n))==1) & (a<=n) :
            alist.append(a)
            a=a+1
            while not ((gcd(a,n))==1):
                a=a+1

---

Хорошо, теперь у нас есть все в списке, посмотрите на определение

наименьшее натуральное число k такое, что
a^k≡1(mod n)

Сначала мы подсчитываем число a, которое является длиной списка
timer=len(alist)
Затем мы используем
if (a**k)%n==1:
чтобы проверить, делает ли это k a^k≡1(mod n)для всех значение в алисте. Строим петлю

for a in alist:
      if (a**k)%n==1:
           timer=timer-1
              if timer <0:
                  break
              pass
      else:
           timer=len(alist)
           k=k+1 

чтобы проверить все k число из 2, если оно не соответствует требованию, мы делаем k=k+1

---

Теперь у нас есть вся функция, как показано ниже

    def carmichael(n):
        n=int(n)
        k=2
        a=1
        alist=[]

        while not ((gcd(a,n))==1):
            a=a+1

        while ((gcd(a,n))==1) & (a<=n) :
            alist.append(a)
            a=a+1
            while not ((gcd(a,n))==1):
                a=a+1

        timer=len(alist)
        while timer>=0:
            for a in alist:
                if (a**k)%n==1:
                    timer=timer-1
                    if timer <0:
                        break
                    pass
                else:
                    timer=len(alist)
                    k=k+1
        return k