Сколько точек определяют цилиндр?
Известно, что 4 неколлинеарные, некомпланарные трехмерные точки определяют трехмерную сферу.
Есть ли эквивалентное свойство / теорема для цилиндра?
5 ответов
Для цилиндра вам нужно 5 баллов. Но я не совсем уверен, что 5 баллов однозначно определяет цилиндр.
Следующие ссылки оправдывают это:
http://library.wolfram.com/infocenter/Conferences/7521/cylinder_5_points_computation.pdf
Цилиндр имеет 5 степеней свободы: 4 для оси (линия в трехмерном пространстве), 1 для радиуса, поэтому в принципе 5 точек необходимо и достаточно.
Но может быть несколько решений: принимая пять точек, которые образуют правильную бипирамиду (два тетраэдра с общим основанием), есть 6 решений, по симметрии.
Этот вопрос гораздо интереснее, чем кажется на первый взгляд. Относительно легко увидеть, как 5 точек определяют цилиндр, но не однозначно: вы можете выбрать 3 из этих точек, чтобы определить круглое поперечное сечение, и позволить двум другим определить основания. Однако нетрудно понять, что выбор трех первых пунктов не уникален. Это также зависит от того, означает ли "определение", что точки должны лежать на поверхности (в этом случае две последние точки должны лежать внутри неограниченного цилиндра, определенного предыдущими тремя) или нет.
Я думаю, что нет простого элегантного утверждения, как в случае сферы.
Для конечного цилиндра вам нужно всего 7 параметров.
Для 3D-линии необходимо 4 параметра (минимальное расстояние от начала координат и 3 для ориентации). Затем из точки, ближайшей к началу координат, вам нужно 2 расстояния, определяющие начало и конец цилиндра. Еще один параметр необходим для радиуса, и вуаля, у вас есть трехмерный цилиндр в пространстве.
Вы также можете использовать две трехмерные точки плюс радиус, который также требует 7 параметров.
Для бесконечного цилиндра вам нужно 5 параметров. 4 для линии и 1 для радиуса.
Придерживаясь точного словаря вопроса, вам нужно только две точки (на самом деле одна точка и скаляр для радиуса) для сферы.
Цилиндру нужно не более 3 баллов. Два, чтобы определить ось и конечные точки, плюс 3 (на самом деле, 2 точки и скаляр), чтобы получить радиус.