Почему мы используем усиление CORDIC?

Question

Я изучаю кордик. И я нашел сердечный прирост. К =0.607XXX.

Из CORDIC K_i = cos(tan^-1(2^i)).

Как я знаю, К приближается 0,607хх. Когда я иду в бесконечность

это значение придумать из всех K умножения.

Я понимаю причину существования каждого к. Но мне любопытно, где он используется? Почему мы используем это значение K=0.607xx?

Answer 1

Масштабный коэффициент для режима вращения кругового варианта CORDIC может быть легко установлен из первых принципов. Идея, лежащая в основе CORDIC, состоит в том, чтобы взять точку на круге единицы и постепенно повернуть ее на угол u, синус и косинус которого мы хотим определить.

Для этого мы определим набор инкрементальных углов a₀,..., a_n-1, такой, что a_k = atan (0,5^k). Мы суммируем эти инкрементальные углы соответствующим образом в частичную сумму углов s_k, таких как s_n ~ = u. Пусть y_k = cos (s_k) и x_k = sin (s_k). Если на данном шаге k мы вращаемся на a_k, мы имеем

y_{k + 1} = cos (s_{k + 1}) = cos (s_k + a_k)
x_{k + 1} = грех (s_{k + 1}) = грех (s_k + a_k)

мы можем вычислить x_{k + 1} и y_{k + 1} из x_k и y_k следующим образом:

y_{k + 1} = y_k * cos (a_k) - x_k * sin (a_k)
x_{k + 1} = x_k * cos (a_k) + y_k * sin (a_k)

Учитывая, что мы можем как сложить, так и вычесть a_k, и что tan (a_k) = sin (a_k) / cos (a_k), мы получим:

y_{k + 1} = cos (a_k) * (y_k ∓ x_k * tan (a_k)) = cos (s_{k + 1})
x_{k + 1} = cos (a_k) * (x_k ± y_k * tan (a_k)) = sin (s_{k + 1})

Чтобы упростить это вычисление, мы можем пропустить умножение на cos (a_k) на каждом шаге, что дает нам нашу итерационную схему CORDIC:

y_{k + 1} = y ∓ x_k * tan (a_k)
x_{k + 1} = x ± y_k * tan (a_k)

Из-за нашего выбора a_k умножения с tan (a_k) превращаются в простые сдвиги вправо, если мы вычисляем в арифметике с фиксированной запятой. Поскольку мы оставили факторы cos (a_k), мы получаем

y_n ~ = cos (u) * (1 / (cos (a₀) * cos (a₁) *... * cos (a_n))
x_n ~ = sin (u) * (1 / (cos (a₀) * cos (a₁) *... * cos (a_n))

Коэффициент f = cos (a₀) * cos (a₁) *... * cos (a_n) равен 0,607..., как уже отмечалось. Мы включаем его в вычисления, устанавливая начальные значения

y₀ = f * cos (0) = f
x₀ = f * sin (0) = 0

Вот код C, который показывает все вычисления в действии, используя 16-битную арифметику с фиксированной точкой. Входные углы масштабируются таким образом, что 360 градусов соответствуют 2¹⁶, в то время как выходные синусоидальные и косинусные значения масштабируются таким образом, что 1 соответствует 2¹⁵.

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

/* round (atand (0.5**i) * 65536/360) */
static const short a[15] = 
{
    0x2000, 0x12e4, 0x09fb, 0x0511, 
    0x028b, 0x0146, 0x00a3, 0x0051, 
    0x0029, 0x0014, 0x000a, 0x0005, 
    0x0003, 0x0001, 0x0001
};

#define swap(a,b){a=a^b; b=b^a; a=a^b;}

void cordic (unsigned short u, short *s, short *c)
{
    short x, y, oldx, oldy, q;
    int i;

    x = 0;
    y = 0x4dba;  /* 0.60725 */
    oldx = x;
    oldy = y;

    q = u >> 14;    /* quadrant */
    u = u & 0x3fff; /* reduced angle */
    u = -(short)u;

    i = 0;
    do {
        if ((short)u < 0) {
            x = x + oldy;
            y = y - oldx;
            u = u + a[i];
        } else {
            x = x - oldy;
            y = y + oldx;
            u = u - a[i];
        }
        oldx = x;
        oldy = y;
        i++;
        /* right shift of signed negative number implementation defined in C */
        oldx = (oldx < 0) ? (-((-oldx) >> i)) : (oldx >> i);
        oldy = (oldy < 0) ? (-((-oldy) >> i)) : (oldy >> i);
    } while (i < 15);

    for (i = 0; i < q; i++) {
        swap (x, y);
        y = -y;
    }

    *s = x;
    *c = y;
}

int main (void)
{
    float angle;
    unsigned short u;
    short s, c;

    printf ("angle in degrees [0,360): ");
    scanf ("%f", &angle);
    u = (unsigned short)(angle * 65536.0f / 360.0f + 0.5f);
    cordic (u, &s, &c);
    printf ("sin = % f  (ref: % f)  cos = % f (ref: % f)\n",
            s/32768.0f, sinf(angle/360*2*3.14159265f), 
            c/32768.0f, cosf(angle/360*2*3.14159265f));
    return EXIT_SUCCESS;
}