Нахождение координат Земли (широта, долгота), расстояние (в метрах) и азимут (угол)

Question

Мне нужно иметь дело с координатами Земли по-разному. В C/C++ нет функции, которая делает это сразу.
Ниже приведены вопросы:

1. Python: получить широту / долготу с учетом текущей точки, расстояния и пеленга
2. C: Заданная точка (широта, долгота), расстояние и азимут, как получить новую широту и долготу

На 1-м сайте веб-сайта сценариев с подвижным типом я обнаружил, что ниже приведены формулы:

Найти подшипник (угол) между 2 координатами

x = cos(lat1Rad)*sin(lat2Rad) - sin(lat1Rad)*cos(lat2Rad)*cos(lon2Rad-lon1Rad);
y = sin(lon2Rad-lon1Rad) * cos(lat2Rad);
bearing = atan2(y, x);  // In radians; 
// Convert to degrees and for -ve add 360

Найти расстояние (в метрах) между 2 координатами

PI = 3.14159265358979323846, earthDiameterMeters = 2*6371*1000;
x = sin((lat2Rad-lat1Rad) / 2);
y = sin((lon2Rad-lon1Rad) / 2);
meters = earthDiameterMeters * asin(sqrt(x*x + y*y*cos(lat1Rad)*cos(lat2Rad)));

Найти координату из координаты + расстояние + угол

meters *= 2 / earthDiameterMeters;
lat2Rad = asin(sin(lat1Rad)*cos(meters) + cos(lat1Rad)*sin(meters)*cos(bearing));
lon2Rad = lon1Rad + atan2(sin(bearing)*sin(meters)*cos(lat1Rad), 
                          cos(meters) - sin(lat1Rad)*sin(lat2Rad));

Ниже псевдокод должен проверить выше 3 уравнения взаимно:

struct Coordinate { double lat, lon; } c1, c2;  
auto degree = FindBearing(c1, c2);
auto meters = FindDistance(c1, c2);
auto cX = FindCoordiante(c1, degree, meters);

Теперь на самом деле ответ почти близок, но не правильный. то есть cX не равно c2!
Всегда есть разница 0.0005 разница в значении долготы. например

c1 = (12.968460,77.641308)  
c2 = (12.967862,77.653130)  
angle = 92.97         ^^^
distance = 1282.74  
cX = (12.967862,77.653613)
                      ^^^

Я не очень хорошо разбираюсь в математике. Но я знаю, что с сайта fcc.gov ответ всегда будет правильным.

Что я делаю неправильно?

Код только для справки

Хотя синтаксис в C++, но все математические функции взяты из C и легко переносимы также в C (следовательно, помечены для обоих)

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cmath>


// Source: http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.html

static const double PI = 3.14159265358979323846, earthDiameterMeters = 6371.0 * 2 * 1000;

double degreeToRadian (const double degree) { return (degree * PI / 180); };
double radianToDegree (const double radian) { return (radian * 180 / PI); };

double CoordinatesToAngle (double latitude1,
                           const double longitude1,
                           double latitude2,
                           const double longitude2)
{
  const auto longitudeDifference = degreeToRadian(longitude2 - longitude1);
  latitude1 = degreeToRadian(latitude1);
  latitude2 = degreeToRadian(latitude2);

  using namespace std;
  const auto x = (cos(latitude1) * sin(latitude2)) -
                 (sin(latitude1) * cos(latitude2) * cos(longitudeDifference));
  const auto y = sin(longitudeDifference) * cos(latitude2);

  const auto degree = radianToDegree(atan2(y, x));
  return (degree >= 0)? degree : (degree + 360);
}

double CoordinatesToMeters (double latitude1,
                            double longitude1,
                            double latitude2,
                            double longitude2)
{
  latitude1 = degreeToRadian(latitude1);
  longitude1 = degreeToRadian(longitude1);
  latitude2 = degreeToRadian(latitude2);
  longitude2 = degreeToRadian(longitude2);

  using namespace std;
  auto x = sin((latitude2 - latitude1) / 2), y = sin((longitude2 - longitude1) / 2);
#if 1
  return earthDiameterMeters * asin(sqrt((x * x) + (cos(latitude1) * cos(latitude2) * y * y)));
#else
  auto value = (x * x) + (cos(latitude1) * cos(latitude2) * y * y);
  return earthDiameterMeters * atan2(sqrt(value), sqrt(1 - value));
#endif
}

std::pair<double,double> CoordinateToCoordinate (double latitude,
                                                 double longitude,
                                                 double angle,
                                                 double meters)
{
  latitude = degreeToRadian(latitude);
  longitude = degreeToRadian(longitude);
  angle = degreeToRadian(angle);
  meters *= 2 / earthDiameterMeters;

  using namespace std;
  pair<double,double> coordinate;

  coordinate.first = radianToDegree(asin((sin(latitude) * cos(meters))
                             + (cos(latitude) * sin(meters) * cos(angle))));
  coordinate.second = radianToDegree(longitude
                    + atan2((sin(angle) * sin(meters) * cos(latitude)),
                    cos(meters) - (sin(latitude) * sin(coordinate.first))));

  return coordinate;
}

int main ()
{
  using namespace std;
  const auto latitude1 = 12.968460, longitude1 = 77.641308,
             latitude2 = 12.967862, longitude2 = 77.653130;

  cout << std::setprecision(10);
  cout << "(" << latitude1 << "," << longitude1 << ") --- "
          "(" << latitude2 << "," << longitude2 << ")\n";

  auto angle = CoordinatesToAngle(latitude1, longitude1, latitude2, longitude2);
  cout << "Angle =  " << angle << endl;

  auto meters = CoordinatesToMeters(latitude1, longitude1, latitude2, longitude2);
  cout << "Meters = " << meters << endl;

  auto coordinate = CoordinateToCoordinate(latitude1, longitude1, angle, meters);
  cout << "Destination = (" << coordinate.first << "," << coordinate.second << ")\n";
}

Answer 1

В CoordinateToCoordinate ты используешь sin(coordinate.first) который уже в градусах. использование sin(degreeToRadian(coordinate.first)),

Или чтобы быть чище:

... CoordinateToCoordinate (...)
{
  ...
  coordinate.first = asin((sin(latitude) * cos(meters))
                        + (cos(latitude) * sin(meters) * cos(angle)));
  coordinate.second = longitude + atan2((sin(angle) * sin(meters) * cos(latitude)), 
         cos(meters) - (sin(latitude) * sin(coordinate.first)));

  coordinate.first = radianToDegree(coordinate.first);
  coordinate.second = radianToDegree(coordinate.second);

  return coordinate;
}

Это решает проблему. Живая Демо.

Answer 2

Частичный ответ

С углом 92.97° затем преобразуется в радианы, вызов sin/cos/tan эффективно изменит угол на 2.97°, Один этот шаг теряет 6 бит точности, так как сокращение периода происходит после преобразования градусов в радианы и при вызове функции триггера.

Точность тригонометрических функций с большими углами в градусах может быть повышена. Используйте удачный аспект, так как в круге ровно360.0 градусов. Выполнить "модуль 45°", может быть, сremquo(angle, 45, &octant) изатем преобразование в радианы перед вызовом функции trig с аргументом радиан.

примерsind()

---

Ваши ответы по 77.641308 и 77.653130 отличаются примерно на 1 часть на 6600 (~13 бит точности). Этот ответ не может полностью объяснить это, но должен помочь. (Если какое-то использование float происходит где-то, что должно быть сделано double.)