Как рассчитать параметры суммы коррелированных гауссовых вариаций?

Question

Это тривиально для самостоятельного случая.

Согласно Wiki, если они коррелированы, ковариация Z

последний член в квадратном корне на самом деле является ковариацией X и Y, а именно cov(X,Y). Я просто не знаю, как вычислить этот термин. Есть ли у вас какие-либо идеи?

Answer 1

Вычисление ρ на самом деле включает в себя вычисление Cov(X,Y), поэтому ваше последнее уравнение математически верно, но не полезно. Давайте перейдем прямо к оценке ковариации.

В дальнейшем я предполагаю, что вы знакомы и относительно знакомы с определениями среднего значения, дисперсии и ковариации и понимаете разницу между параметром и его оценкой.

Во-первых, напомним, что:

σ_x² = E [(X-μ_x)²] = E [X²] - E [X]².

Так же:

Cov (X, Y) = E [(X-μ_X) (Y-μ_Y)] = E [XY] - E [X] E [Y].

Обратите внимание, что на самом деле это означает, что дисперсия - это просто частный случай ковариации, т. Е. Var(X) = Cov(X,X)!

По оценке. Оценка максимального правдоподобия для дисперсии в основном определяется путем усреднения данных, соответствующих слагаемым в крайних правых равенствах выше. Оценка дисперсии:

s_x² = (сумма (x_i²) - n * (x_bar²)) / n

где n - размер выборки, а x_bar - среднее значение выборки x. (Разделите на (n-1), а не на n, если вы предпочитаете объективную оценку MLE.) Учитывая взаимосвязь между дисперсией и ковариацией, указанную выше, вас не должно удивлять то, что оценка MLE для ковариации:

c = (сумма (x_i * y_i) - n * x_bar * y_bar) / n

Что приводит нас к вашей цели:

s_{x + y}² = s_x² + s_y² + 2 * c,

и отсюда вы просто берете квадратный корень, чтобы получить стандартное отклонение.

В псевдокоде:

function std_dev_sum(x_vector, y_vector):
  n = x_vector.length
  fail "different size vectors" unless y_vector.length == n   
  sum_x = sum_y = sum_x_sqr = sum_y_sqr = sum_xy = 0.0
  for each index i:
    x = x_vector[i]
    y = y_vector[i]
    sum_x += x
    sum_y += y
    sum_x_sqr += x * x
    sum_y_sqr += y * y
    sum_xy += x * y
  x_bar = sum_x / n
  y_bar = sum_y / n
  var_x = sum_x_sqr / n - x_bar * x_bar
  var_y = sum_y_sqr / n - y_bar * y_bar
  cov = sum_xy / n - x_bar * y_bar
  return Sqrt(var_x + var_y + 2.0 * cov)