Зачем двумерным преобразованиям нужны матрицы 3х3?
Я хочу сделать 2D-рисунок и, следовательно, хочу реализовать некоторые преобразования матрицы. Имея небольшой опыт работы с математикой, я пытаюсь понять, как это сделать в C# (очевидно, что любой другой язык oop сделал бы это).
Все, что я прочитал, объясняет, что нам нужно работать с матрицами 3х3, чтобы справиться с переводами. Потому что вы не можете сделать перевод с умножением. Но это с умножением матриц, которые мы создаем наши преобразования. Итак, мы работаем с чем-то вроде:
{ x1, x2, tx }
{ y1, y2, ty }
{ 0, 0, 1 }
Я понимаю среднее значение третьего столбца, но зачем нам третий ряд? В единичной матрице, а также в повороте, масштабе или повороте последний ряд одинаков. Есть ли операции, которых я еще не достиг, которые будут нужны? Это потому, что некоторые языки (Java) работают лучше с массивами "квадратов измерений"? Если это так, я могу использовать 3 столбца и 2 строки в C# (поскольку зубчатые массивы работают так же или лучше).
Например, для вращения + перевода у меня есть такая матрица
{ cos(rot)*x1, (-sin(rot))*x2, tx }
{ sin(rot)*y1, cos(rot)*y2, ty }
{ 0, 0, 1 }
Нет необходимости в последнем ряду.
2 ответа
это с умножением матриц, которые мы создаем наши преобразования
Вот почему мы хотим квадратные матрицы.
Предположим, мы сделали то, что вы предлагаете, и использовали матрицы 2x3 для наших преобразований.
Тогда вращение будет
( x1, x2, 0 )
( y1, y2, 0 )
и перевод будет
( 1, 0, tx )
( 0, 1, ty )
и мы могли бы выполнять либо вращения, либо переводы, умножив нашу матрицу на вектор столбца, представляющий точку:
( x )
M ( y )
( 0 )
чтобы получить правильные ответы.
Однако - как бы мы пошли о составлении преобразований? Действительно, для вашего примера "для вращения + перевода у меня есть матрица, подобная этой", как вы попали к этой матрице? Конечно, в этом случае вы можете просто выписать это, но в целом? Ну, вы знаете ответ:
это с умножением матриц, которые мы создаем наши преобразования
Таким образом, должна быть возможность умножить две матрицы преобразования, чтобы получить другую матрицу преобразования. И правила умножения матриц показывают, что это:
( . . . ) ( . . . )
( . . . ) ( . . . ) = ???
не является допустимым умножением матрицы. Нам нужны матрицы, которые можно умножить, чтобы наши преобразования были составными. Итак, у нас есть этот дополнительный ряд.
То, как я это выразил здесь, на самом деле полностью отстает от стандартного математического представления, в котором знакомые преобразования вращения и перемещения - это просто частные случаи полной степени однородных преобразований координат на проективной плоскости - но я думаю, это поможет показать вам, почему нам нужна эта дополнительная строка - чтобы матрица была квадратной, и, таким образом, ее можно умножить на одинаковые матрицы.
Ответ - однородные координаты. Чтобы объединить вращение и перемещение в одной операции, требуется одно дополнительное измерение, чем требует модель. Для плоских вещей это 3 компонента, а для пространственных вещей это 4 компонента. Операторы берут 3 компонента и возвращают 3 компонента, требующие матрицы 3х3.