Выпуклая оболочка из трех ортогональных отрезков
Я получил три отрезка в 3D. Они попарно ортогональны, но им не нужно прикасаться. Если они касаются, объем выпуклой оболочки их составляет 1/6*s1*s2*s3, где s1,s2,s3 - длины отрезков. Это может быть легко вычислено. Но что будет, если они не коснутся? Я ожидаю, что выпуклый корпус не станет меньше.
Я был бы признателен, если у кого-нибудь есть идея, как это доказать, или можно привести контрпример.
1 ответ
Лемма 6 из http://cms.math.ca/openaccess/cjm/v3/cjm1951v03.0054-0061.pdf дает желаемый результат. Если мы выберем P и Q в качестве конечных точек самых длинных отрезков, то проекция в двух измерениях содержит другие отрезки, которые все еще ортогональны.