Закрытия и универсальное количественное определение

Question

Я пытался понять, как реализовать церковные типы данных в Scala. Кажется, что для этого нужны типы ранга n, так как вам понадобится первый класс const функция типа forAll a. a -> (forAll b. b -> b),

Тем не менее, я смог кодировать пары таким образом:

import scalaz._

trait Compose[F[_],G[_]] { type Apply = F[G[A]] }

trait Closure[F[_],G[_]] { def apply[B](f: F[B]): G[B] }

def pair[A,B](a: A, b: B) =
  new Closure[Compose[({type f[x] = A => x})#f,
                      ({type f[x] = B => x})#f]#Apply, Id] {
    def apply[C](f: A => B => C) = f(a)(b)
  }

Для списков я смог закодировать cons:

def cons[A](x: A) = {
  type T[B] = B => (A => B => B) => B
  new Closure[T,T] {
    def apply[B](xs: T[B]) = (b: B) => (f: A => B => B) => f(x)(xs(b)(f))
  }
}

Однако пустой список более проблематичен, и я не смог получить компилятор Scala для унификации типов.

Можете ли вы определить ноль, так что, учитывая приведенное выше определение, следующие компиляции?

cons(1)(cons(2)(cons(3)(nil)))

Answer 1

Спасибо Марку Харре за завершение этого решения. Хитрость в том, что Function1 в стандартных библиотеках не определяется достаточно общим образом.

Моя черта "замыкания" в этом вопросе - естественное преобразование между функторами. Это обобщение понятия "функция".

trait ~>[F[_],G[_]] { def apply[B](f: F[B]): G[B] }

Функция a -> b тогда должна быть специализация этой черты, естественная трансформация между двумя эндофункторами в категории типов Scala.

trait Const[A] { type Apply[B] = A }
type ->:[A,B] = Const[A]#Apply ~>: Const[B]#Apply

Const[A] это функтор, который отображает каждый тип A,

И вот наш тип списка:

type CList[A] = ({type f[x] = Fold[A,x]})#f ~> Endo

Вот, Endo это просто псевдоним для типа функций, которые отображают тип на себя ( конечная функция).

type Endo[A] = A ->: A

А также Fold тип функций, которые могут свернуть список:

type Fold[A,B] = A ->: Endo[B]

И, наконец, вот наши конструкторы списка:

def cons[A](x: A) = {
  new (CList[A] ->: CList[A]) {
    def apply[C](xs: CList[A]) = new CList[A] {
      def apply[B](f: Fold[A,B]) = (b: B) => f(x)(xs(f)(b))
    }
  }
}

def nil[A] = new CList[A] {
  def apply[B](f: Fold[A,B]) = (b: B) => b
}

Одним из предостережений является необходимость явного преобразования (A ->: B) в (A => B), чтобы помочь системе типов Scala. Так что все еще ужасно многословно и утомительно на самом деле сворачивать список после его создания. Вот эквивалентный Haskell для сравнения:

nil p z = z
cons x xs p z = p x (xs p z)

Конструкция списка и складывания в версии на Haskell лаконична и бесшумна:

let xs = cons 1 (cons 2 (cons 3 nil)) in xs (+) 0