Действительно ли множество действительных чисел от 0 до 1 бесконечно бесконечно?
Канторовское множество счетных бесконечных и неисчислимых бесконечных бесконечных
Вы можете знать, и вы, возможно, доказали, что множество действительных чисел от 0 до 1 бесконечно бесконечно. Значит, мы не можем отобразить каждое число этого набора на другое натуральное число.
Я получил Технику, с помощью которой я смогу отобразить все действительные числа от 0 до 1 на другое натуральное число. Техника проста. Замените десятичную точку на 1 и нанесите на карту оригинал с таким числом, чтобы карта 0,0003 на 10003 и 0,03 на 103
Используя эту технику, мы сможем отобразить все действительные числа от 0 до 1 на натуральные числа. И все эти натуральные числа будут начинаться с 1, поэтому у нас будут и другие числа, на которые не будет отображаться никакое число, например 2 или 211 или 79. Таким образом, этот набор натуральных чисел означает больше, чем действительные числа от 0 до 1. Таким образом, множество действительных чисел от 0 до 1 счетно бесконечно.
Какое у тебя мнение?
2 ответа
Множество действительных чисел от 0 до 1 неисчислимо бесконечно, как показывает диагональный аргумент Кантора, с которым вы знакомы.
Что может вас удивить, так это то, что множество рациональных чисел от 0 до 1 счетно бесконечно. Таким образом, существует взаимно-однозначное соответствие между целыми числами и всеми дробями и числами с конечным десятичным разложением. Вы можете найти доказательство здесь.
Это не работает, потому что произвольное нерациональное действительное число, такое как 0.5123129421... является допустимым действительным числом, а число 15123129421... - нет. в случае с первым вы можете указать (по крайней мере, в принципе), где вдоль числовой линии он будет лежать, но для последнего это невозможно. Попробуйте произнести 15123129421... как одно число (например, 1022 - это тысяча двадцать два). Вы не сможете, потому что такое число не является натуральным числом.