Что такое эквивалентные классы?

Question

Пусть A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} и R отношение на A следующим образом:

R = {(a, a), (f, c), (b, b), (c, f), (a, d), (c, c), (c, i), (d, a), (b, e), (i, c), (e, b), (d, d), (e, e), (f, f), (g, g), (h, h), (i, i), (h, e), (a, g), (g, a), (d, g), (g, d), (b, h), (h, b), (e, h), (f, i), (i, f)}

Я знаю, что это отношение эквивалентности, которое симметрично, транзитивно и рефлексивно, но я не понимаю классы эквивалентности? Какие классы эквивалентности? Как я могу найти классы эквивалентности отношения?

Answer 1

Как вы сказали, отношение эквивалентности - это отношение, которое является симметричным, рефлексивным и транзитивным. Определение этих терминов следующее:

Симметричный:

Учитывая a, b в A, если a = b, то b = a.

Рефлексивное:

Учитывая a в A, a = a.

Переходная:

Учитывая a, b, c в A, если a = b и b = c, то a = c.

Используя эти определения, мы можем видеть, что отношение R, заданное в вашем вопросе, действительно является отношением эквивалентности на A. Это потому, что для каждого a, b, c в A:

a = a, который представлен (a,a) в R

если a = b, то b = a, представленный (b,a) и (a,b), оба находятся в R

если a = b и b = c, то a = c, представленный (a,b), (b,c) и (a,c) в R.

Вы можете проверить, чтобы убедиться, что это правда, но я уверен, что это так. Это то, что делает R отношением эквивалентности. Когда у нас есть определение отношения эквивалентности, мы можем определить класс эквивалентности следующим образом:

Множество всех элементов в наборе, которые равны при данном отношении эквивалентности. В формальной записи {x в S | x -> a}, где -> отношение эквивалентности.