Логика первого порядка - позиция квантификатора

Question

Когда у вас есть оператор с →, имеет ли значение, используете ли вы квантификатор до или после импликации?

ех. утверждение "Каждый человек любит царя" (2 разные семантические интерпретации)

1. Каждый человек любит короля, и все эти короли могут отличаться друг от друга. ∀x IsMan(x) → ∃y (IsKing(y) ∧ Loves(x,y))
2. Есть один царь, которого любит каждый человек. ∃y, ∀x (IsKing(y) ∧ IsMan(x)) → Loves(x,y)

Для #1 было бы одинаково правильно написать это как ∀x, ∃y, (IsMan(x) ∧ IsKing(y)) → Loves(x,y)?

И для № 2, как насчет ∃y IsKing(y) → ∀x (IsMan(x) ∧ Loves(x,y))?

Answer 1

Да, порядок квантификатора имеет значение для определения выполнимости / достоверности формулы.

Один из способов убедиться в этом - это знать, что (A → B) такой же как (not A or B) и это (not (∀x x))такой же как (∃x (not x)),

Таким образом, когда у вас есть (∃x, ∀y x → y) это так же, как (∀x ∃y ((not x) or y)),

Который отличается от (∃x, x → ∀y y) которые могут быть ((∀x (not x) or (∀y y)),