Почему Q → P является логическим следствием ¬(P → Q )

Question

Я не хочу спрашивать об этом своего профессора, потому что я ужасен в этом, а он, мягко говоря, не терпеливый профессор.

В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ, насколько я понял, это означало две разные вещи. И это равно (¬P → ¬Q ).

Но один из ответов на вопрос говорит, что Q → P является логическим следствием ¬(P → Q ), чего я вообще не понимаю.

Чтобы еще больше запутать ситуацию, afaik ¬(p → q) ⟺ p ∧ ¬q правильно, поэтому я думаю, что я просто потерялся и что-то упустил здесь в определении логического следствия?

Любая помощь приветствуется.

Answer 1

Возможно, еще немного предыстории — под логическим следствием мы обычно подразумеваем семантическое понятие оператора следствия: следствие A ⊨ B имеет место, если B истинно во всех моделях, в которых истинно A. В классической логике это эквивалентно утверждению, что ⊨ A → B истинно (т. е. формула A → B истинна во всех моделях).

Давайте посмотрим на конкретное следствие, о котором идет речь:

¬(P → Q) ⊨ Q → P

Мы рассматриваем только те интерпретации, которые делают ¬(P → Q) истинным. Это имеет место только в том случае, если Q ложно, а P истинно (что делает Q → P ложным, а его отрицание истинным). Но если Q ложно, то Q → P истинно, потому что из ложной посылки следует все.

Давайте посмотрим, эквивалентны ли две формулы, т. е. если также P → Q ⊨ ¬(P → Q):

Давайте сначала воспользуемся определением импликации и применим правило де Моргана, чтобы получить:

P → Q ⊨ ¬¬P ∧ ¬Q

Мы также можем удалить двойное отрицание, которое у нас получится:

P → Q ⊨ P ∧ ¬Q

Теперь P → Q имеет три интерпретации, которые делают его истинным (P ложно + любое значение Q и оба P и Q истинны), но ни одна из них не делает P истинным, а Q ложным (т. е. является моделью P ∧ ¬Q). Следовательно, формулы не эквивалентны.