Гамильтонов цикл и циклический график

Верно / Неверно: Пусть G - связный неориентированный граф, все вершины которого имеют четные степени. Каждый цикл Эйлера в G также является гамильтоновым циклом тогда и только тогда, когда G - граф циклов.

Я думаю, что это правда, я могу увидеть это, если нарисую простой график цикла, но я не знаю, как это доказать.

Я знаю теоремы Оре и Дирака, но они работают только для малых n.