Наибольшее (существующее) число с половинной точностью IEEE 754

Question

Почему 0 11110 1111111111 и не 0 11111 1111111111 наибольшее число с половиной точности?

Answer 1

Потому что поле экспоненты 11111₂ зарезервировано для бесконечностей и NaN. Раздел 3.4 стандарта IEEE 754-2008 гласит:

Диапазон смещенного показателя E кодирования должен включать:

• каждое целое число от 1 до 2^w - 2 включительно для кодирования нормальных чисел
• зарезервированное значение 0 для кодирования ±0 и субнормальных чисел
• зарезервированное значение 2^w - 1 для кодирования ±∞ и NaN.

Здесь "w" - ширина поля экспоненты. Это относится не только к формату половинной точности, но и ко всем двоичным форматам обмена IEEE 754 (включая обычные форматы одинарной и двойной точности).

В частном случае формата binary16 w равно 5, а старшие 5 битов, следующих за знаковым битом, описывают смещенную экспоненту E и могут находиться в диапазоне от 00000₂ до 11111₂. Верхнее значение в этом диапазоне, 11111₂, используется для бесконечностей и значений NaN, а нижнее значение 00000₂ используется для нулей и субнормалей. Остальные смещенные значения экспоненты используются для представления конечных нормальных чисел. Таким образом, максимальное значение показателя степени, доступное для конечного числа, равно 2^w - 2 = 11110_2, а не 11111₂.

Для этого формата смещение показателя равно 15, поэтому битовая комбинация 0 11110 1111111111 дает несмещенный показатель 30 - 15 = 15 и представляет значение 1,1111111111₂ × 2¹⁵ или 65504.

Чтобы привести другой пример, самый большой двоичный код 32 (одинарной точности) представлен битовой комбинацией

0 11111110 11111111111111111111111₂