Математическое 2D предельное вычисление

Question

Wolfram Alpha и Mathematica (на моем ноутбуке) дают ноль для предела, показанного на рисунке ниже.

Это нормально, если x и y приближаются к началу координат по пути y = x.

Но что произойдет, если x и y приблизятся к началу координат по пути y = x^3?

Мне не удалось найти вопросы о переполнении стека, которые касаются этой проблемы.

Answer 1

Пределы функции f вдоль пути p зависят от того, какой путь выбран. Вы намекаете на это в вопросе. Если мы вставим y=x^3 в f, мы получим постоянную 1/2. Таким образом, предел f в направлении (0,0) вдоль пути y=x^3 равен 1/2.

Mathematica вычисляет пределы только по одной оси за раз. Даже при том, что WolframAlpha заставляет его выглядеть так, как будто он знает, как правильно вычислить (x,y)->(0,0), он фактически вычисляет lim x->0 lim y->0 f(x,y).

Этот вопрос и ответ можно использовать для графического изучения ситуации: https://mathematica.stackexchange.com/a/21549/11860