Решить разреженную матрицу, чтобы содержать значения только в нижней треугольной

Question

У меня есть квадратная матрица, которая в значительной степени нули, но вкраплена значениями. Есть ли способ "решить" эту матрицу так, чтобы вся информация в ней содержалась только в ее нижнем треугольнике, а верхний треугольник содержал только нули?

Answer 1

Не в общем.

• Если симметрично и положительно определено, вы можете выполнить разложение Холецкого.
• Если вы несимметричны, вы можете выполнить разложение LU.
• Матрица Q в квадратичных формах (x'Qx) может быть сделана симметричной, а затем снизу треугольной. Это иногда используется при настройке модели квадратичного программирования (QP).

Разреженные версии подходов разложения являются хорошо изученной областью (хотя и не тривиальной). В крупномасштабных LP-решениях широко используются разреженные LU (симплекс) или разреженные Cholesky (внутренняя точка).