Решите это уравнение с помощью метода итерации с фиксированной точкой в ​​Python

Question

f(x) = x^2- 2x - 3 = 0

Как я могу решить это нелинейное уравнение и использовать метод итерации с фиксированной точкой в ​​Python?

Answer 1

Итерация с фиксированной точкой

f(x) = x^2-2x-3 = 0 â ‡ 'x(x-2) = 3 â ‡' x = 3 / (x-2)

import math

def g(x):
   if 2 == x:
       return x + 1e-10
   return 3/(x-2)

def quadratic(ff,x=0):
    while abs(x-ff(x)) > 1e-10:
        x = ff(x);
    return x

print(quadratic(g))

-1

формула поиска корней

# -*- coding:utf8 -*-
import math
def quadratic(a, b, c):
    ''' ax² + bx + c = 0
        return
        True  : all real number
        Fasle :  no solutions
        (x1,x2)
    '''
    if not isinstance(a, (int, float)):
        raise TypeError('a is not a number')
    if not isinstance(b, (int, float)):
        raise TypeErrot('b is not a number')
    if not isinstance(c, (int, float)):
        raise TypeError('c is not a number')
    derta = b * b - 4 * a * c
    if a == 0:
        if b == 0:
            if c == 0:
                return True
            else:
               return False
        else:
            x1 = -c / b
            x2 = x1
            return x1, x2
    else:
        if derta < 0:
            return False
        else:
            x1 = (-b + math.sqrt(derta)) / (2 * a)
            x2 = (-b - math.sqrt(derta)) / (2 * a)
            return x1, x2

print(quadratic(1, -2, -3))

(3,0, -1,0)

Answer 2

Возможная итерация с

f(x) = 2 + 3 / x.

Производная

f'(x) = - 3 / x²

так что итерации сходятся для x² > 3.

Начиная с 2, итерации

2, 7/2, 20/7, 61/20, 182/61, 547/182... -> 3

Это не работает для другого корня (который является отрицательным), потому что отрицательные значения быстро становятся положительными.

Формула, используемая @tinyhare,

f(x) = 3 / (x - 2)

имеет производную

f'(x) = - 3 / (x - 2)²

и, конечно, остается и сходится в отрицании.

-2, -3/4, -12/11, -33/34, -102/101, -303/304, ... -> -1

Обратите внимание, что в обоих случаях числитель каждый раз отключается на единицу, а знаменатель регулярно увеличивается.

Answer 3

Это квадратное уравнение, которое вы можете решить, используя выражение в замкнутой форме (т.е. не нужно использовать итерацию с фиксированной точкой), как показано здесь.

В этом случае у вас будет два решения:

x1 = -(p/2) + math.sqrt((p/2)**2-q)
x2 = -(p/2) - math.sqrt((p/2)**2-q)

где p - ваш первый коэффициент (-2 в вашем примере), а q - ваш второй коэффициент (-3 в вашем примере).

В общем случае вам нужно будет проверить выражение внутри оператора sqrt на большее или равное нулю. Если оно меньше нуля, уравнение не будет иметь решения в виде действительных чисел. Если он равен нулю, два решения равны (это называется двойным корнем).