Эпсилон с четырехкратной точностью (gcc)

Question

Согласно Википедии, макеты различных типов данных точности

• одинарная точность: экспонента (e): 8 бит, дробь (f): 23 бита
• двойная точность: e: 11 бит, f: 52 бит
• учетверенная точность: e: 15 бит, f: 112 бит.

Я написал небольшую программу для вывода числовых ограничений для чисел float, double и long double на C++ (скомпилировано с g++)

#include<iostream>
#include<limits>
#include<string>

template<typename T>
void print(std::string name) {
    std::cout << name << " (" << sizeof(T) * 8 << "): " << std::numeric_limits<T>::epsilon() << "\t"  <<  std::numeric_limits<T>::min() << "\t" <<  std::numeric_limits<T>::max() << std::endl;
}

int main() {
    std::cout.precision(5);
    print<float>("float");
    print<double>("double");
    print<long double>("long double");
    return 0;
}

какие выходы (я запускал его на нескольких машинах с тем же результатом)

float (32): 1.1921e-07  1.1755e-38  3.4028e+38
double (64): 2.2204e-16 2.2251e-308 1.7977e+308
long double (128): 1.0842e-19   3.3621e-4932    1.1897e+4932

Верхние пределы совпадают с 2^(2^(e-1)), а для чисел float и double эпсилон совпадает с 2^(-f). Однако для long double эпсилон должен быть примерно 1.9259e-34 по этой логике.

Кто-нибудь знает, почему это не так?

Answer 1

long doubleне гарантируется, что будет реализована как четырехкратная точность IEEE-745. Справочник по C++ гласит:

long double- тип с плавающей запятой повышенной точности. Не обязательно соответствует типам, предписанным IEEE-754. Обычно 80-битный тип с плавающей запятой x87 на архитектурах x86 и x86-64.

Если long doubleреализован как 80-битная x86 с расширенной точностью, тогда epsilon2-63 = 1.0842e-19. Это значение, которое вы получите на выходе.

Некоторые компиляторы поддерживают __float128тип с четырехкратной точностью. В GCClong double становится псевдонимом для __float128 если -mlong-double-128 используется параметр командной строки, а на целевых объектах x86_64 __float128 гарантированно относится к типу четверной точности IEEE (реализовано программно).

std::numeric_limits не специализируется на __float128. Чтобы получить значение epsilon, можно использовать следующий трюк (при условии, что машина с прямым порядком байтов):

__float128 f1 = 1, f2 = 1;      // 1.q       -> ...00000000
std::uint8_t u = 1;
std::memcpy(&f2, &u, 1);        // 1.q + eps -> ...00000001
std::cout << double(f2 - f1);   // Output: 1.9259e-34

С GCC вы можете использовать libquadmath:

#include <quadmath.h>
...

std::cout << (double)FLT128_EPSILON;

чтобы получить тот же результат.