Алгоритм решения диофантова уравнения

Question

Я пытаюсь разработать алгоритм поиска положительных целочисленных решений с верхней границей диофантовых уравнений, например:

a^3 + b^3 + c^3 = d^3

Например:

3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3

Я хочу замучить вас множеством уравнений, которые дадут нам ответ на вопрос, как найти a, b, c и d. Джейкоб Перельман, автор статьи, называемой "неопределенными уравнениями третьей степени", дает нам следующее:

a =  28r^2 + 11rs - 3s^2, 
b =  21r^2 - 11rs - 4s^2, 
c =  35r^2 +  7rs + 6s^2, 
d = -42r^2 -  7rs - 5s^2,

При любых заданных значениях r и s, например, при заданных значениях r = 1 и s = 1 мы получим:

a = 36, b = 6, c = 48 d = -54, // reducing by the common factor of 6:
a = 6, b =  1, c = 8, d = 9

Таким образом, алгоритм (с учетом верхней границы b) может быть: 1. Возьмите произвольные r и s, например, r = 1, s = 2 2. Выполните вычисления и получите a, b, c, d 3. Проверьте, что мы имеем только одно отрицательное число, если не продолжить. 4. Проверьте, если x, y, z, t

Возникают следующие вопросы:

1. Если мы изменим порядок начальной группы из четырех (3, 4, 5, -6) => (3, 5, 4, -6), мы получим новую формулу решения:

   a = 20r ^ 2 + 10rs - 3s ^ 2,

   b = 12r ^ 2 - 10rs - 5s ^ 2,

   c = 16r ^ 2 + 8rs + 6s ^ 2,

   d = -24r ^ 2 - 8rs - 4s ^ 2.

Таким образом, делая это таким образом, я получу бесконечно много новых формул. Как мне с этим бороться?

2. Расчеты GCD, особенно для 4 довольно больших чисел, очень ресурсоемки, как с этим бороться?

3. Из-за GCD даже довольно большие r и s могут в конечном итоге привести к довольно маленьким a, b, c и d. Какова стратегия выбора начальных точек r и s для прохождения цикла?

4. Знаете ли вы более простое решение для этого?