p(x)⇒∀xp (x) является условным?

Question

Я столкнулся с вопросом, спрашивающим, является ли текущее предложение действительным / условным / неудовлетворительным:

p(x)⇒∀x.p(x) 

Я думаю, что ответ является правильным предложением. в разделе 6.10 учебника здесь http://logic.stanford.edu/intrologic/secondary/notes/chapter_06.htmlsays

предложение со свободными переменными эквивалентно предложению, в котором все свободные переменные универсально определены количественно.

Поэтому я думаю, что первое реляционное предложение p(x) равно ∀xp(x) и, следовательно, предложение действительно, т.е. это всегда правда.

Тем не менее, правильный ответ заключается в том, что предложение является условным, а именно. при некотором назначении истины это правда, а при некоторых других назначениях истины - ложь.

Так почему же предложение условное? Ответ неправильный?

Answer 1

У вас есть заявление:

p(x)⇒∀x.p(x)

Если вы универсально закроете свободную переменную, вы получите:

∀x.(p(x)⇒∀x.p(x))

другими словами:

∀x.(p(x)⇒∀y.p(y))

это не тавтология, а случайный. В нетехнических терминах это звучит так:

для любого x, если p(x) верно, то p(y) верно для всех y

или, чтобы преобразовать это в эквивалентную форму:

(∃x.p(x))⇒(∀y.p(y))

это читает:

если p(x) верно для некоторых x, затем p(y) верно для всех y

Другими словами,

p(x) либо всегда верно, либо всегда ложно

Answer 2

Я думаю, это зависит от того, как вы читаете предложение.

Если вы читаете это как определение, то это не случайно.

Однако, если вы читаете это как чистую логику... тогда на самом деле есть 2 значения x в заявлении. x слева от следствия отличается от x в количественном определении справа.

p(x) => for all x . p(x)

означает так же, как

p(x) => for all y . p(y)

и это явно зависит. Это не верно для всех предикатов p,

(Например:

1. Позволять p(x) стоять для предиката "х левша"

2. В заявлении говорится:

    X is left-handed implies that everyone is left-handed.
   

   ... что не является логически обоснованным утверждением.

---

Смотрите ответ @sawa для более "математически строгого" объяснения.