Спектрограмма против скалеограммы для изменяющейся во времени частоты

Question

Я сравниваю FFT против CWT для конкретного сигнала.

Мне не понятно, как читать соответствующие частоты и амплитуды из соответствующей шкалы CWT. Кроме того, у меня сложилось впечатление, что CWT довольно неточно?

Спектрограмма, кажется, довольно хороша в предсказании точных частот, но для CWT я пробовал много разных вейвлетов, и результат был одинаковым.

Я наблюдал за чем-то? Разве это не подходящий инструмент для этой проблемы?

Ниже вы найдете мой пример исходного кода и соответствующий сюжет.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from numpy import pi as π
from scipy.signal import spectrogram
import pywt

f_s = 200              # Sampling rate = number of measurements per second in [Hz]
t   = np.arange(-10,10, 1 / f_s) # Time between [-10s,10s].
T1  = np.tanh(t)/2  + 1.0 # Period in [s]
T2  = 0.125               # Period in [s]
f1  = 1 / T1              # Frequency in [Hz]
f2  = 1 / T2              # Frequency in [Hz] 

N = len(t)
x = 13 * np.sin(2 * π * f1 * t) + 42 * np.sin(2 * π * f2 * t)

fig, (ax1, ax2, ax3, ax4) = plt.subplots(4,1, sharex = True, figsize = (10,8))

# Signal
ax1.plot(t, x)
ax1.grid(True)
ax1.set_ylabel("$x(t)$")
ax1.set_title("Signal x(t)")

# Frequency change
ax2.plot(t, f1)
ax2.grid(True)
ax2.set_ylabel("$f_1$ in [Hz]")
ax2.set_title("Change of frequency $f_1(t)$")

# Moving fourier transform, i.e. spectrogram
Δt = 4 # window length in [s]
Nw = np.int(2**np.round(np.log2(Δt * f_s))) # Number of datapoints within window
f, t_, Sxx = spectrogram(x, f_s, window='hanning', nperseg=Nw, noverlap = Nw - 100, detrend=False, scaling='spectrum')
Δf  =  f[1] - f[0]
Δt_ = t_[1] - t_[0]
t2  = t_ + t[0] - Δt_

im = ax3.pcolormesh(t2, f - Δf/2, np.sqrt(2*Sxx), cmap = "inferno_r")#, alpha = 0.5)
ax3.grid(True)
ax3.set_ylabel("Frequency in [Hz]")
ax3.set_ylim(0, 10)
ax3.set_xlim(np.min(t2),np.max(t2))
ax3.set_title("Spectrogram using FFT and Hanning window")

# Wavelet transform, i.e. scaleogram
cwtmatr, freqs = pywt.cwt(x, np.arange(1, 512), "gaus1", sampling_period = 1 / f_s)
im2 = ax4.pcolormesh(t, freqs, cwtmatr, vmin=0, cmap = "inferno" )  
ax4.set_ylim(0,10)
ax4.set_ylabel("Frequency in [Hz]")
ax4.set_xlabel("Time in [s]")
ax4.set_title("Scaleogram using wavelet GAUS1")

# plt.savefig("./fourplot.pdf")

plt.show()

Answer 1

Ваш пример формы волны состоит только из нескольких чистых тонов в любой момент времени, поэтому график спектрограммы будет выглядеть очень чистым и читаемым.

График вейвлетов будет выглядеть «беспорядочным» в сравнении, потому что вам нужно суммировать гауссовские вейвлеты различных масштабов (и, следовательно, частот), чтобы аппроксимировать каждый компонент чистого тона в вашем исходном сигнале.

И кратковременное БПФ, и вейвлет-преобразования относятся к категории частотно-временных преобразований , но имеют другое ядро. Ядро БПФ - это чистый тон, но ядро ​​вейвлет-преобразования, которое вы предоставили, представляет собой гауссовский вейвлет. Ядро чистого тона БПФ будет точно соответствовать типу формы волны, которую вы указали в своем вопросе, но ядро ​​вейвлета не будет.

Я сомневаюсь, что результат, который вы получили для разных вейвлетов, был точно таким же числовым. Вероятно, невооруженным глазом это выглядит так же, как вы это нарисовали. Похоже, вы используете вейвлеты не по назначению. Вейвлеты более полезны при анализе сигнала, чем при его построении. Вейвлет-анализ уникален, поскольку каждая точка данных в вейвлет-композиции одновременно кодирует частоту, фазу и информацию о окнах. Это позволяет разрабатывать алгоритмы, которые лежат в континууме между временными рядами и частотным анализом и могут быть очень мощными.