Можете ли вы привести пример транзитивного замыкания отношения, которое не является отношением эквивалентности?

Question

У меня возникают проблемы с поиском примеров транзитивного замыкания отношений, которые не являются отношениями эквивалентности.

Answer 1

Любое транзитивное отношение - это собственное транзитивное замыкание, поэтому просто подумайте о небольших транзитивных отношениях, чтобы попытаться получить контрпример. Пусть ваш набор будет {a,b,c} с отношениями{(a,b),(b,c),(a,c)}, Это отношение является переходным, но потому что отношения как (a,a) исключены, это не отношение эквивалентности.

Еще более тривиально, если вы начнете с любого непустого набора и определите на нем пустое отношение, это отношение является вакуумно-транзитивным и даже вакуумно-симметричным, но не отношением эквивалентности, потому что вы пропускаете отношения, которые делают его рефлексивным.