Учитывая набор случайных чисел, взятых из непрерывного одномерного распределения, найдите распределение

Question

Учитывая набор действительных чисел, взятых из неизвестного непрерывного одномерного распределения (скажем, является одним из бета, Коши, хи-квадрат, экспоненциальный, F, гамма, Лаплас, логарифмическое нормальное, нормальное, Парето, t Студента, равномерное и Вейбулла)..

x <- c(7.7495976,12.1007857,5.8663491,9.9137894,11.3822335,7.4406175,8.6997212,9.4456074,11.8370711,6.4251469,9.3597039,8.7625700,10.3171063,8.0983110,11.7564283,11.7583461,7.3760516,14.5713098,14.3289690,12.8436795,7.1834376,12.2530520,8.9362235,11.8964391,5.4378782,7.8083060,0.1356370,14.9341847,6.8625143,9.0285873,10.2251998,10.3348486,7.7518365,2.8757024,9.2676577,10.6879259,11.7623207,14.0745924,9.3478318,7.6788852,9.7491924,14.9409955,11.0297640,8.5541261,8.6129808,9.2192320,12.3507414,8.9156903,11.6892831,10.2571897,11.1673235,10.5883741,8.2396129,7.3505839,3.4437525,8.3660082,10.5779227,8.5382177,13.6647484,9.0712034,4.1090454,13.4238382,16.1965937,14.2539891,14.6498816,6.9662381,12.3282141,10.9628268,10.8859495,11.6742822,12.0469869,9.1764119,4.2324549,12.6665295,10.7467579,6.4153703,10.3090806,12.0267082,9.2375369,13.8011813,13.0457227,14.0147179,6.9224316,7.1164269,10.7577799,8.0965571,13.3371566,14.6997535,8.8248384,8.0634834,10.2226001,8.5112199,8.1701147,8.1970784,10.5432878,5.9603389,6.6287037,13.3417943,3.1122822,10.4241008,11.4281520,9.4647825,10.5480176,14.2357819,9.4220778,9.7012755,10.9251006,5.3073151,10.8228672,12.0936384,8.5146227,8.4115865,7.7244591,7.2801474,7.3412563,4.5385940,7.8822841,12.7327836,11.5509252,13.0300876,10.0458138,11.3862972,11.3644867,12.6585391,5.8567192,9.8764841,7.6447620,8.7806429,9.2089114,9.1961781,7.2400724,14.7575303,8.6874476,4.6276043,14.0592724,10.3519708,8.2222625,8.7710501,8.5724602,11.4279232,9.6734741,12.1972490,10.1250074,4.8571327,8.0019245,9.8036286,17.7386541,10.8935339,4.7258581,14.2681556,7.4236474,9.4520797,9.2066764,7.7805317,0.4938756,13.0306624,8.0225287,11.1801478,8.7481126,16.5873192,6.0404763,9.5674318,10.8915023,13.2473727,5.5877557,1.4474869,10.9504070,10.8879749,10.7765684,9.1501230,11.0798794,10.0961631,9.5913525,14.0855129,7.3918195,16.6303158,9.1436327,11.9848346,11.4691572,16.0934172,13.1431040,8.2455786,10.7388841,13.7107201,9.6223990,7.6363513,9.5731838,7.0150930,14.1341888,7.5834625,13.8362695,12.9790060,10.4156690,6.4108920,6.3731019,6.3302824,8.4924571,11.2175143,11.6346609,6.0958761,12.8728176,10.2689647,9.7923411,11.3962741,7.3723701,8.1169299,9.7926014,8.7266379,10.7350973,12.7639103,7.4425159,15.9422109,9.9073852,6.2421614,5.2925668,9.9822059,13.9768971,9.3481404,6.8102106,12.6482884,9.8595946,12.8946675,6.3519119,9.2698768,4.9538608,13.8062408,14.7438135,8.5583994,12.4232260,9.4205371,13.6507205,11.7807767,10.9747222,15.9299602,10.0202244,11.9209419,12.8159324,7.0107459,7.8076222,8.0086965,14.7694984,6.4810687,6.6833260,3.9660939,16.2414479,9.3474497,10.2626126,11.7672786,10.1245905,2.3416774,9.2548226,12.3498943,9.1731074,8.6703280,3.8079927,12.0858349,11.1027140,11.9034505,11.1981903,9.5554276,11.5333311,4.1374535,7.9397446,10.6732513,5.4928081,5.9026714,7.1902350,7.3516027,9.5251792,12.8827838,8.6051567,9.9074448,4.7244414,9.4681156,17.4316786,15.0770196,7.4215510,7.2839984,8.2040354,11.2938556,12.2308244,17.2933409,5.7154747,9.9383524,7.9912142,10.2087560,13.0489301,10.2092634,11.4029668,10.3103281,10.2810316,8.9487624,14.2699307,12.8538251,10.7545354,18.0638133,7.2115769,7.4020585,7.9737234,13.1687588,13.7186238,9.6881618,4.2991770,11.4829896,8.0113006,10.0285544,8.3325591,8.8476239,9.3618137,11.0913308,10.2702207,12.0215701,11.8083744,8.1575837,10.0413629,11.7291752,13.8315537,12.4823312,13.3289096,8.5874403,9.8624401,7.0444818,13.9701389,10.0250634,14.3841966,17.4074390,13.1290358,8.3764673,7.8796107,6.4597773,12.4989708,11.3617236,5.0730931,13.5990536,9.4800716,11.1247161,12.6283343,12.5711367,10.8075848,13.2183856,12.4566869,17.0046899,9.9132293,13.8912393,10.4806343,6.7550983,18.4982020,4.6835563,4.6068688,8.4304188,7.8747286,9.4440702,12.1033704,10.7397568,12.4483258,12.0952273,9.4609549,16.1755646,13.2110564,12.5244792,14.5511670,14.9365263,6.6852081,14.6988321,9.8833093,11.1549852,14.4090081,6.2565184,8.3488705,10.8509966,7.6795679,13.5814813,10.1733942,12.1773482,4.7032686,9.9248308,17.7067155,8.2378404,12.8208154,12.7675305,9.0907063,9.5720411,4.5536981,5.2252539,10.7393508,8.1761239,7.8011878,10.8517959,12.8793471,10.1738281,9.0522516,9.7020267,8.5743543,7.1063673,9.4366173,7.5154902,9.2420952,13.7275687,8.2097051,12.4686117,8.6426135,10.6854081,14.8617929,14.2631291,11.1449327,8.4807248,5.9399190,6.7772300,7.2566033,10.3215210,9.2483564,10.8592844,13.8227188,5.8955118,6.8936159,11.4641992,8.6535466,14.1301887,10.2194653,9.3929177,11.8592296,9.3153675,10.8574024,9.5293558,14.1394531,7.1224090,5.6785198,13.1351723,7.1031658,7.6344684,8.6918016,6.8426780,8.6902514,9.9025967,6.1603559,6.3995948,6.7157089,14.9359341,13.1275476,11.2493476,10.7684760,8.5263731,5.1711855,10.2432689,6.7908688,9.2634794,5.6242460,7.7319788,13.7579540,10.5344149,11.2123002,9.5503450,11.3042249,6.6581916,13.0363709,9.0141363,6.8815546,8.6309000,9.4825677,6.9816465,9.4836443,8.5629547,12.5643187,13.2918150,4.9542483,3.8941388,12.0723769,14.6818075,6.2067566,8.6538934,11.4860264,9.6481396,12.7096758,7.8361298,12.0167492,9.2011051,6.7472607,13.5725275,15.0862343,12.5248807,10.8804527,12.7291198,7.7527975,7.8537703,10.5257599,11.2615216,5.2586963,9.3935784,4.8959811,14.9649019,9.7550081,9.0961317,3.0822901,10.4690830,11.4116176,11.8268286,9.6303294,12.6595176,10.3003485,10.6738841,7.1545388,13.1700952,8.8394611,11.7666496,5.3739818,12.5156287,10.5998309,7.9280247,11.3985509,9.3435626,9.1445783,7.5190392,10.5207065,5.5194295,14.4021779,7.9815022,7.3148241,5.0131517,12.1867856,3.4892615,14.7278153,10.0177503,9.0080577,6.2549383,11.5792232,10.0743671,4.6603495,9.1943305,10.0549778,13.3946923,11.0435648,11.9903902,7.5212459,6.9752799,9.7793759,3.0074422,9.9630136,8.2949444,14.4448033,8.8767257,10.4919437,12.8309614,11.9987884,9.4450733,7.1909711,7.7836130,12.0111407,7.8110426,8.8857522,7.2070115,6.1091037,15.5397454,12.4138856,11.0948175,10.3384724,4.0731303,11.9523302,11.7543732,8.6845056,11.3963952,9.1248950,9.8663549,14.4536098,10.5610537,9.6523570,9.9533877,10.1019772,12.0909679,12.1466894,9.8986813,14.2406526,10.1251599,13.5607593,8.3409267,7.3538062,9.2187909,8.3878572,9.6934979,6.8270478,6.9754722,14.7438670,6.2118150,4.3408116,11.4874280,12.9580969,9.5487183,10.2743684,11.2433385,14.4445854,10.3395096,5.7534609,10.5550234,10.9322053,10.2105928,11.3020951,12.9484069,6.5904212,8.4368601,11.3280691,8.6031823,7.6938566,11.3733151,12.3900593,11.7711757,11.2307516,13.4915701,10.7228153,7.3886924,8.4401787,10.2753493,8.4389663,12.1972728,10.4918743,10.6289742,10.5594228,6.7236908,11.2358099,8.5938861,12.3906280,14.4511787,7.4746119,15.8803774,2.5522927,9.6801286,8.5697501,10.8271935,13.5280438,10.6818935,13.5646711,3.5187030,10.4440143,9.8327296,9.7382627,14.1669606,6.9083257,3.8266181,13.6244062,11.0284378,9.5523319,8.9891586,9.9055215,8.3856238,8.7478998,6.6987620,14.7248918,9.2529918,10.2082195,4.9534370,9.2030317,5.2269606,8.0661516,13.1779369,5.2971835,15.0037013,7.2702621,6.9997505,9.6490126,13.9149660,10.7425870,9.7558964,12.5752855,10.5098261,20.2689637,9.8681830,7.8259004,9.4911900,9.6024895,7.6085691,12.0086596,6.6780724,8.2764670,8.9880572,15.9231426,5.9905542,13.5816388,8.9839322,9.5235545,10.1314783,13.1174616,8.1648447,12.5653484,12.4941364,10.5916275,12.7761500,9.8608664,8.1374522,10.6055768,6.5465219,11.7945966,7.0397647,4.4046833,12.4284773,0.4180241,12.0268339,10.0441325,5.3276329,8.4208769,8.5484829,9.8222639,9.4951750,9.3263556,13.7433301,10.1112279,12.3558939,10.8694158,9.7864777,5.5161601,7.0906274,14.5786803,12.9236138,8.9206195,7.0104273,5.8283839,7.6944516,6.2924265,10.0766522,10.3576597,8.5793193,11.2022858,4.9360148,6.5907700,13.0853471,9.5498965,10.8132248,7.3545704,9.3583861,10.5726301,6.8032692,9.5914570,6.1383186,7.0176580,16.8026498,6.7959168,9.2745414,7.7390857,12.5977623,8.6116698,13.6735060,10.8476068,9.6710713,10.1086791,9.6101003,11.2849373,14.3841286,10.0175111,5.9766042,9.2654916,12.3336237,11.0695365,9.4801954,6.6405542,11.7110714,9.2962742,4.5557592,7.9725970,10.3105591,9.1068024,8.1585631,14.9021906,9.2015137,15.0472571,9.1225965,13.9551835,15.1033478,10.6360240,12.0867865,15.6969704,9.5818060,8.1641150,8.2950194,8.6544478,7.9130456,8.8904450,13.9381998,8.9913977,14.0155779,6.2856039,10.7923301,8.8070441,11.2657258,10.7901363,9.1724396,6.6433443,9.5172255,12.3402514,2.7254577,12.4006210,13.2697124,10.0670987,15.3858112,8.2044828,10.7534955,7.9282064,10.9170642,12.8222748,18.2680638,9.0601854,13.2616197,7.0193571,12.2447467,5.3729936,14.8064727,10.5359554,10.4851627,11.8312380,13.3435483,10.5894537,5.0047413,7.5532502,11.9171854,12.1777692,7.6730359,5.5515027,12.3027227,10.1575062,14.8505769,9.6526219,11.2016182,10.7898901,13.6303578,12.8561220,13.3002161,9.0945849,4.9117132,8.0514791,8.3684288,4.7461608,6.3118847,14.3888758,15.8801467,11.6563489,7.9043481,6.1992280,10.4055679,6.4948166,11.8656277,3.8399970,9.5901581,8.6379262,7.4541442,7.1135626,7.9164363,9.6439593,15.6259631,7.3244170,8.4635798,12.0317526,17.1847365,12.5357554,6.0369018,12.9830581,11.2712555,12.3488084,9.3935706,8.1248854,11.4523131,9.6710694,9.5978474,15.1563587,7.5582530,10.8587757,13.5890062,10.1390991,8.1443215,16.1032757,6.5988579,9.6915113,7.6946942,10.5688193,7.9222074,6.0964578,7.0383112,11.5956154,6.6059072,13.5679685,15.1021379,10.2625096,10.2202339,15.7814051,16.3342713,6.1339245,0.9275113,15.8169582,11.0888355,7.8822788,15.2039942,9.6944328,11.7292036,11.6230714,8.4657438,7.6462181,7.1888162,8.1788400,13.7221572,12.4793501,10.4488461,8.9233659,8.9305724,7.4913262,12.5882791,10.6825315,10.8527571,12.1660301,12.4390247,13.8529219,8.5372836,11.2575812,6.4922496,9.5404721,10.7082122,11.2365487,10.2713802,14.8685632,10.7735798,10.6526134,4.8455022,8.3135583,10.8120056,7.2903999,7.0497880,4.9958942,5.9730174,9.8642732,11.5609671,10.1178216,6.6279774,9.2441754,9.9419299,13.4710469,6.0601435,8.2095239,7.9456672,12.7039825,7.4197810,9.5928275,8.2267352,2.8314614,11.5653497,6.0828073,11.3926117,10.5403929,14.9751607,11.7647580,8.2867261,10.0291522,7.7132033,6.3337642,14.6066222,11.3436587,11.2717791,10.8818323,8.0320657,6.7354041,9.1871676,13.4381778,7.4353197,8.9210043,10.2010750,11.9442048,11.0081195,4.3369520,13.2562675,15.9945674,8.7528248,14.4948086,14.3577443,6.7438382,9.1434984,15.4599419,13.1424011,7.0481925,7.4823108,10.5743730,6.4166006,11.8225244,8.9388744,10.3698150,10.3965596,13.5226492,16.0069239,6.1139247,11.0838351,9.1659242,7.9896031,10.7282936,14.2666492,13.6478802,10.6248561,15.3834373,11.5096033,14.5806570,10.7648690,5.3407430,7.7535042,7.1942866,9.8867927,12.7413156,10.8127809,8.1726772,8.3965665)

... есть ли в R простой способ программно и автоматически найти наиболее вероятное распределение и предполагаемые параметры распределения?

Обратите внимание, что идентификационный код распространения будет частью автоматизированного процесса, поэтому ручное вмешательство в идентификацию будет невозможно.

Answer 1

Мой первый подход заключается в том, чтобы сгенерировать qq-графики данных с учетом возможных распределений.

x <- c(15.771062,14.741310,9.081269,11.276436,11.534672,17.980860,13.550017,13.853336,11.262280,11.049087,14.752701,4.481159,11.680758,11.451909,10.001488,11.106817,7.999088,10.591574,8.141551,12.401899,11.215275,13.358770,8.388508,11.875838,3.137448,8.675275,17.381322,12.362328,10.987731,7.600881,14.360674,5.443649,16.024247,11.247233,9.549301,9.709091,13.642511,10.892652,11.760685,11.717966,11.373979,10.543105,10.230631,9.918293,10.565087,8.891209,10.021141,9.152660,10.384917,8.739189,5.554605,8.575793,12.016232,10.862214,4.938752,14.046626,5.279255,11.907347,8.621476,7.933702,10.799049,8.567466,9.914821,7.483575,11.098477,8.033768,10.954300,8.031797,14.288100,9.813787,5.883826,7.829455,9.462013,9.176897,10.153627,4.922607,6.818439,9.480758,8.166601,12.017158,13.279630,14.464876,13.319124,12.331335,3.194438,9.866487,11.337083,8.958164,8.241395,4.289313,5.508243,4.737891,7.577698,9.626720,16.558392,10.309173,11.740863,8.761573,7.099866,10.032640)
> qqnorm(x)

Для получения дополнительной информации см ссылку

Другая возможность основана на функции fitdistr в пакете MASS. Вот различные распределения, упорядоченные по их логарифмической вероятности

> library(MASS)
> fitdistr(x, 't')$loglik
[1] -252.2659
Warning message:
In log(s) : NaNs produced
> fitdistr(x, 'normal')$loglik
[1] -252.2968
> fitdistr(x, 'logistic')$loglik
[1] -252.2996
> fitdistr(x, 'weibull')$loglik
[1] -252.3507
> fitdistr(x, 'gamma')$loglik
[1] -255.9099
> fitdistr(x, 'lognormal')$loglik
[1] -260.6328
> fitdistr(x, 'exponential')$loglik
[1] -331.8191
Warning messages:
1: In dgamma(x, shape, scale, log) : NaNs produced
2: In dgamma(x, shape, scale, log) : NaNs produced

Answer 2

Другой подобный подход использует пакет fitdistrplus

library(fitdistrplus)

Перебирайте интересующие вас распределения и генерируйте объекты "fitdist". Используйте либо "MLE" для maximum likelihood estimation или "MME" для matching moment estimation, как метод подгонки.

f1<-fitdist(x,"norm",method="mle")

Используйте повторную выборку начальной загрузки, чтобы смоделировать неопределенность в параметрах выбранной модели.

b_best<-bootdist(f_best)
print(f_best)
plot(f_best)
summary(f_best)

Метод fitdist позволяет использовать пользовательские дистрибутивы или дистрибутивы из других пакетов при условии, что соответствующая функция плотности dname соответствующая функция распределения pname и соответствующая квантильная функция qname были определены (или даже просто функция плотности).

Итак, если вы хотите проверить логарифмическую вероятность обратного нормального распределения:

library(ig)
fitdist(x,"igt",method="mle",start=list(mu=mean(x),lambda=1))$loglik

Вы также можете найти полезные распределения с буквой R.

Answer 3

(Ответ отредактирован для добавления дополнительных пояснений)

1. Вы не можете найти "дистрибутив"; почти всегда гарантируется, что фактическое распределение, из которого извлекаются данные, не будет включено ни в один "список прачечной", предоставляемый любым из таких программ. В лучшем случае вы можете найти "а" дистрибутив (скорее всего, несколько), который является адекватным описанием. Даже если вы находите отличное совпадение, всегда есть бесконечность распределений, которые находятся как угодно близко друг к другу. Реальные данные, как правило, берутся из гетерогенных смесей распределений, которые сами по себе не обязательно имеют простую функциональную форму.

   * пример, на который вы можете надеяться, - это то, где вы знаете, что данные были сгенерированы точно из одного распределения в списке, но такие ситуации встречаются крайне редко.

2. Я не думаю, что сравнение правдоподобия обязательно будет иметь смысл, так как некоторые дистрибутивы имеют больше параметров, чем другие. AIC может иметь больше смысла, кроме того...

3. Попытка определить "наиболее подходящее" распределение из списка кандидатов приведет к переобучению, и если эффект от выбора такой модели не будет учтен должным образом, приведет к чрезмерной уверенности (модель, которая выглядит великолепно, но на самом деле не соответствует данным не в вашем образце). Есть такие возможности в R (пакет fitdistrplus приходит в голову), но в качестве обычной практики я бы советовал против идеи. Если вы должны сделать это, используйте несогласованные образцы или перекрестную проверку для получения моделей с лучшей ошибкой обобщения.

Answer 4

Мне трудно представить реалистичную ситуацию, в которой это было бы полезно. Почему бы не использовать непараметрический инструмент, такой как оценка плотности ядра?

Answer 5

Вы можете попробовать использовать тесты Колмогорова-Смирнова (ks.test в R).

Если у вас есть данные о времени события, вот программное обеспечение, которое выполняет байесовский критерий хи-квадрат по списку распространенных распределений, чтобы сообщить о наилучшем соответствии.

Answer 6

Как уже отмечали другие, это может быть оформлено как вопрос выбора модели. Это неправильный подход к использованию дистрибутива, который лучше всего подходит для данных, без учета сложности дистрибутива. Это связано с тем, что более сложный дистрибутив, как правило, будет лучше соответствовать, но, вероятно, будет соответствовать данным.

Вы можете использовать Akaike Information Criteria (AIC), чтобы принять во внимание сложность распространения. Это все еще неудовлетворительно, поскольку вы рассматриваете только ограниченное количество дистрибутивов, но все же лучше, чем просто использовать вероятность журналов.

Я использую только несколько дистрибутивов, но вы можете проверить документацию, чтобы найти другие, которые могут иметь отношение

С использованием fitdistrplus Вы можете запустить:

library(fitdistrplus)

distributions = c("norm", "lnorm", "exp",
          "cauchy", "gamma", "logis",
          "weibull")


# the x vector is defined as in the question

# Plot to see which distributions make sense. This should influence
# your choice of candidate distributions
descdist(x, discrete = FALSE, boot = 500)

distr_aic = list()
distr_fit = list()
for (distribution in distributions) {
    distr_fit[[distribution]] = fitdist(x, distribution)
    distr_aic[[distribution]] = distr_fit[[distribution]]$aic
}

> distr_aic
$norm
[1] 5032.269

$lnorm
[1] 5421.815

$exp
[1] 6602.334

$cauchy
[1] 5382.643

$gamma
[1] 5184.17

$logis
[1] 5047.796

$weibull
[1] 5058.336

Согласно нашему сюжету и АПК, имеет смысл использовать нормаль. Вы можете автоматизировать это, просто выбрав распределение с минимальным AIC. Вы можете проверить расчетные параметры с

> distr_fit[['norm']]
Fitting of the distribution ' norm ' by maximum likelihood 
Parameters:
     estimate Std. Error
mean 9.975849 0.09454476
sd   2.989768 0.06685321