Не могу понять алгоритм CORDIC для вычисления показательных функций

Question

Я прочитал одну или две статьи о CORDIC, но не могу понять это. Однако я загружаю код из Интернета, который вычисляет экспоненциальные функции, используя этот алгоритм. это было очень полезно и помогло мне получить экспоненциальный член функции на ПЛИС. но сейчас я пытаюсь написать отчет, и я не могу объяснить, как работает часть CORDIC, и я не могу относиться к общему алгоритму CORDIC. Пожалуйста, помогите мне и спасибо заранее.

function fx = exp_cordic ( x, n )
 a_length = 25;

  a = [ ...
    1.648721270700128, ...
    1.284025416687742, ...
    1.133148453066826, ...
    1.064494458917859, ...
    1.031743407499103, ...
    1.015747708586686, ...
    1.007843097206488, ...
    1.003913889338348, ...
    1.001955033591003, ...
    1.000977039492417, ...
    1.000488400478694, ...
    1.000244170429748, ...
    1.000122077763384, ...
    1.000061037018933, ...
    1.000030518043791, ...
    1.0000152589054785, ...
    1.0000076294236351, ...
    1.0000038147045416, ...
    1.0000019073504518, ...
    1.0000009536747712, ...
    1.0000004768372719, ...
    1.0000002384186075, ...
    1.0000001192092967, ...
    1.0000000596046466, ...
    1.0000000298023228 ];
  e = 2.718281828459045;

  x_int = floor ( x );
%
%  Determine the weights.
%
  poweroftwo = 0.5;
  z = x - x_int;

  for i = 1 : n
    w(i) = 0.0;
    if ( poweroftwo < z )
      w(i) = 1.0;
      z = z - poweroftwo;
    end
    poweroftwo = poweroftwo / 2.0;
  end
%
%  Calculate products.
%
  fx = 1.0;

  for i = 1 : n

    if ( i <= a_length )
      ai = a(i);
    else
      ai = 1.0 + ( ai - 1.0 ) / 2.0;
    end

    if ( 0.0 < w(i) )
      fx = fx * ai;
    end

  end
%
%  Perform residual multiplication.
%
  fx = fx             ...
    * ( 1.0 + z       ...
    * ( 1.0 + z / 2.0 ...
    * ( 1.0 + z / 3.0 ...
    * ( 1.0 + z / 4.0 ))));
%
%  Account for factor EXP(X_INT).
%
  if ( x_int < 0 )

    for i = 1 : -x_int
      fx = fx / e;
    end

  else

    for i = 1 : x_int
      fx = fx * e;
    end

  end

  return
end

и я сделал некоторые изменения и удалил некоторый код и попытался сделать его проще, и это сработало, и я не знаю, что я делал и почему он все еще работает!!!!

a = [ ...
    1.648721270700128, ...
    1.284025416687742, ...
    1.133148453066826, ...
    1.064494458917859, ...
    1.031743407499103, ...
 ];


  e = 2.718281828459045;

  x_int = floor ( x );
  z = x - x_int;
  fx = 1.0;
  for i = 1 : n
    if ( 2^(-i) < z )
     z=z-2^(-i);
      fx = fx * a(i); 
    end
  end

  if ( x_int < 0 )
    for i = 1 : -x_int
      fx = fx / e;
    end
  else

    for i = 1 : x_int
      fx = fx * e;
    end
  end

  return
end

Answer 1

Это использует известный факт, что

exp(x+y)=exp(x)*exp(y) and a^(x*y)=(a^x)^y.

Входной номер x сначала разлагается на целую и дробную часть x = x_int + z, Экспонента x_int может быть легко вычислен любым алгоритмом целочисленной степени, представленный довольно неоптимальный.

Таблица факторов для дробной части в ее двоичном представлении

z = z[1]/2+z[2]/4+z[3]/8+…

где z[i] либо 0 или же 1, Затем первый цикл вычисляет

exp(1/2)^z[1] * exp(1/4)^z[2] * exp(1/8)^z[3]*…

где второе возведение должно читаться как

(z[i]==1) ? exp(1/2^i) : 1 

то есть только факторы с z[i]==1 на самом деле присутствуют в продукте.