Задать свойства: нерефлексивность и транзитивность

Question

Это не домашняя работа, но имеет прямое отношение к моей домашней работе. Другими словами, мне нужно знать эту информацию, чтобы уметь делать домашнее задание.

Является R транзитивно: R = {(a,b),(b,a),(c,c)}? Я думаю, что это также должно включать (a,a),(b,b) но я не уверен

Это пустой набор {} иррефлексивных?

Это случаи, которые не были четко объяснены, и я был бы признателен за разъяснения.

Answer 1

Если вы посмотрите, например, на Википедию: транзитивное отношение, у вас есть это хорошее количественное выражение, которое становится истинным, если ваше отношение является транзитивным.

Поскольку он универсально определен количественно, он корректен для пустого набора (потому что универсально выраженные выражения для пустого множества верны по определению). И ты абсолютно прав. Если там есть (a,b) а также (b,a) в R, то там также должно быть (a,a) для R быть транзитивным.

Нерефлексивность также повсеместно определяется количественно ("Это бинарное отношение на множестве, где ни один элемент не связан с самим собой". => ∀x:~(xRx) или же ~∃x:xRx), так что это верно для пустого набора.

Answer 2

Транзитивный закон в математике и логике гласит, что если A имеет какое-то отношение к B, а B имеет такое же отношение к C, то A относится к C. Для арифметики свойство равенства транзитивно, если A = B и B = C, то A = C. Аналогично это неравенство свойств, если два неравенства имеют одинаковый смысл: то есть, если A больше, чем B (т. Е. A> B) и B> C, то A> C; и если A меньше, чем B (то есть A Нерефлексивное или антирефлексивное отношение является противоположностью рефлексивного отношения. Это бинарное отношение на множестве, где ни один элемент не связан с самим собой. Примером является отношение "больше чем" (x> y). Обратите внимание, что не каждое отношение, которое не является рефлексивным, является нерефлексивным; можно определить отношения, в которых одни элементы связаны с самими собой, а не с другими. Например, бинарное отношение "произведение x и y является четным" является рефлексивным на множестве четных чисел, нерефлексивным на множестве нечетных чисел и ни на множестве натуральных чисел.