Как я могу сложить и вычесть 128-битные целые числа в C или C++, если мой компилятор не поддерживает их?

Question

Я пишу компрессор для длинного потока 128-битных чисел. Я хотел бы хранить числа как различия - сохраняя только разницу между числами, а не сами числа, потому что я могу упаковать различия в меньшее количество байтов, потому что они меньше.

Однако для сжатия мне нужно вычесть эти 128-битные значения, а для декомпрессии мне нужно добавить эти значения. Максимальный целочисленный размер для моего компилятора составляет 64 бита.

У кого-нибудь есть идеи сделать это эффективно?

Answer 1

Если все, что вам нужно, это сложение и вычитание, и у вас уже есть 128-битные значения в двоичной форме, библиотека может быть удобной, но не является строго необходимой. Эта математика тривиально сделать самостоятельно.

Я не знаю, что ваш компилятор использует для 64-битных типов, поэтому я буду использовать INT64 и UINT64 для 64-битных целых чисел со знаком и без знака.

class Int128
{
public:
    ...
    Int128 operator+(const Int128 & rhs)
    {
        Int128 sum;
        sum.high = high + rhs.high;
        sum.low = low + rhs.low;
        // check for overflow of low 64 bits, add carry to high
        if (sum.low < low)
            ++sum.high;
        return sum;
    }
    Int128 operator-(const Int128 & rhs)
    {
        Int128 difference;
        difference.high = high - rhs.high;
        difference.low = low - rhs.low;
        // check for underflow of low 64 bits, subtract carry to high
        if (difference.low > low)
            --difference.high;
        return difference;
    }

private:
    INT64  high;
    UINT64 low;
};

Answer 2

Посмотрите на GMP.

#include <stdio.h>
#include <gmp.h>

int main (int argc, char** argv) {
    mpz_t x, y, z;
    char *xs, *ys, *zs;
    int i;
    int base[4] = {2, 8, 10, 16};

    /* setting the value of x in base 10 */
    mpz_init_set_str(x, "100000000000000000000000000000000", 10);

    /* setting the value of y in base 16 */
    mpz_init_set_str(y, "FF", 16);

    /* just initalizing the result variable */
    mpz_init(z);

    mpz_sub(z, x, y);

    for (i = 0; i < 4; i++) {
        xs = mpz_get_str(NULL, base[i], x);
        ys = mpz_get_str(NULL, base[i], y);
        zs = mpz_get_str(NULL, base[i], z);

        /* print all three in base 10 */
        printf("x = %s\ny = %s\nz = %s\n\n", xs, ys, zs);

        free(xs);
        free(ys);
        free(zs);
    }

    return 0;
}

Выход

x = 10011101110001011010110110101000001010110111000010110101100111011111000000100000000000000000000000000000000
y = 11111111
z = 10011101110001011010110110101000001010110111000010110101100111011111000000011111111111111111111111100000001

x = 235613266501267026547370040000000000
y = 377
z = 235613266501267026547370037777777401

x = 100000000000000000000000000000000
y = 255
z = 99999999999999999999999999999745

x = 4ee2d6d415b85acef8100000000
y = ff
z = 4ee2d6d415b85acef80ffffff01

Answer 3

Boost 1.53 теперь включает в себя мультиточность:

#include <boost/multiprecision/cpp_int.hpp>
#include <iostream>

// Requires Boost 1.53 or higher
// build: g++ text.cpp

int main()
{
    namespace mp = boost::multiprecision;

    mp::uint128_t a = 4294967296;
    mp::uint256_t b(0);
    mp::uint512_t c(0);

    b = a * a;
    c = b * b;

    std::cout << "c: " << c << "\n";
    return 0;
}

Выход:

./a.out
c: 340282366920938463463374607431768211456

Answer 4

Совершенно случайно наткнувшись на этот относительно старый пост, я подумал, что уместно более подробно остановиться на предыдущей гипотезе Вольта на благо неопытных читателей.

Во-первых, диапазон со знаком для 128-битного числа составляет от -2¹²⁷ до 2¹²⁷-1, а не от -2¹²⁷ до 2^127, как было первоначально оговорено.

Во-вторых, из-за циклического характера конечной арифметики наибольший требуемый дифференциал между двумя 128-битными числами составляет от -2¹²⁷ до 2¹²⁷-1, что имеет предварительное условие хранения 128-бит, а не 129. Хотя (2¹²⁷-1) - (-2¹²⁷) = 2¹²⁸-1, что явно больше нашего максимального положительного целого числа 2¹²⁷-1, арифметическое переполнение всегда гарантирует, что ближайшее расстояние между любыми двумя n- разрядными числами всегда находится в диапазоне от 0 до 2ⁿ- 1 и, следовательно, неявно от -2^н-1 до 2^н-1-1.

Чтобы пояснить, давайте сначала рассмотрим, как гипотетический 3-битный процессор будет реализовывать двоичное сложение. В качестве примера рассмотрим следующую таблицу, в которой показан абсолютный диапазон без знака 3-разрядного целого числа.

0 = 000b
1 = 001b
2 = 010b
3 = 011b
4 = 100b
5 = 101b
6 = 110b
7 = 111b ---> [Возвращается к 000b при переполнении]

Из приведенной таблицы видно, что:

001b (1) + 010b (2) = 011b (3)

Также очевидно, что добавление любого из этих чисел с числовым дополнением всегда дает 2ⁿ-1:

010b (2) + 101b([дополнение к 2] = 5) = 111b (7) = (2³-1)

Из-за циклического переполнения, которое возникает, когда добавление двух n- битных чисел приводит к результату (n+ 1) -бит, следовательно, из этого следует, что добавление любого из этих чисел с числовым дополнением + 1 всегда даст 0:

010b (2) + 110b([дополнение к 2] + 1) = 000b(0)

Таким образом, мы можем сказать, что [дополнение к n] + 1 = -n, так что n + [дополнение к n] + 1 = n + (-n) = 0. Более того, если теперь мы знаем, что n + [дополнение к n] + 1 = 0, тогда n + [дополнение к n - x] + 1 должно = n - (n-x) = x.

Применяя это к нашей исходной 3-битной таблице, получаем:

0 = 000b = [дополнение к 0] + 1 = 0
1 = 001b = [дополнение к 7] + 1 = -7
2 = 010b = [дополнение 6] + 1 = -6
3 = 011b = [дополнение к 5] + 1 = -5
4 = 100b = [дополнение к 4] + 1 = -4
5 = 101b = [дополнение к 3] + 1 = -3
6 = 110b = [дополнение к 2] + 1 = -2
7 = 111b = [дополнение к 1] + 1 = -1 ---> [Возвращается к 000b при переполнении]

Независимо от того, является ли репрезентативная абстракция положительной, отрицательной или комбинацией того и другого, как подразумевается в знаковой арифметике с двойным дополнением, у нас теперь есть 2ⁿ n- битных шаблона, которые могут беспрепятственно обслуживать как положительные от 0 до 2ⁿ-1, так и отрицательные от 0 до - (2ⁿ) -1 диапазон, как и когда требуется. Фактически, все современные процессоры используют именно такую ​​систему, чтобы реализовать общую схему ALU для операций сложения и вычитания. Когда процессор сталкивается с i1 - i2 инструкция вычитания, она внутренне выполняет операцию [дополнение + 1] i2 и впоследствии обрабатывает операнды через схему сложения, чтобы вычислить i1 + [дополнение i2] + 1. За исключением дополнительного XOR-закрытого флага переполнения переноса / знака, как неявное, так и сложное со знаком и без знака и подразумеваемым вычитанием.

Если мы применим приведенную выше таблицу к входной последовательности [-2^n-1, 2^n-1-1, -2^n-1], как представлено в исходном ответе Вольте, мы теперь можем вычислить следующие n-битные дифференциалы:

разница # 1:
(2^н-1-1) - (-2^н-1) =
3 - (-4) = 3 + 4 =
(-1) = 7 = 111b

разница № 2:
(-2^н-1) - (2^н-1-1) =
(-4) - 3 = (-4) + (5) =
(-7) = 1 = 001b

Начиная с нашего начального числа -2^n-1, теперь мы можем воспроизвести исходную входную последовательность, последовательно применяя каждый из вышеуказанных дифференциалов:

(-2^n-1) + (difF# 1) =
(-4) + 7 = 3 =
2^н-1-1

(2^n-1-1) + (difF# 2) =
3 + (-7) = (-4) =
-2^н-1

Вы, конечно, можете принять более философский подход к этой проблеме и предположить, почему 2ⁿ циклически-последовательных чисел потребуют более 2ⁿ циклически-последовательных дифференциалов?

Taliadon.

Answer 5

Существует много литературы о большой целочисленной математике. Вы можете использовать одну из свободно доступных библиотек (см. Ссылки) или вы можете свернуть свою собственную. Хотя я должен предупредить вас, что для чего-то более сложного, чем сложение и вычитание (и сдвиги), вам нужно использовать нетривиальные алгоритмы.

Чтобы сложить и вычесть, вы можете создать класс / структуру, которая содержит два 64-битных целых числа. Вы можете использовать простую школьную математику для сложения и вычитания. По сути, делайте то, что вы делаете, с помощью карандаша и бумаги, чтобы сложить или вычесть, с тщательным вниманием относясь к заимствованиям / заимствованиям.

Поиск большого целого числа. Между прочим, последние версии компиляторов VC++, IntelC++ и GCC имеют 128-битные целочисленные типы, хотя я не уверен, что они так легко доступны, как вы могли бы (они предназначены для использования с регистрами sse2/xmms).

• http://en.wikipedia.org/wiki/Arbitrary_precision_arithmetic
• http://orion.math.iastate.edu/cbergman/crypto/bignums.html
• http://www.mathgoodies.com/tutorial/

Answer 6

TomsFastMath немного похож на GMP (упомянутый выше), но является общественным достоянием и был спроектирован с нуля, чтобы быть чрезвычайно быстрым (он даже содержит оптимизации кода сборки для x86, x86-64, ARM, SSE2, PPC32 и AVR32),

Answer 7

Также стоит отметить: если цель состоит в том, чтобы просто улучшить сжатие потока чисел путем его предварительной обработки, то предварительно обработанный поток не должен быть сделан из точно арифметических различий. Вы можете использовать XOR (^) вместо + а также -, Преимущество состоит в том, что 128-битный XOR точно такой же, как два независимых XOR на 64-битных частях, поэтому он прост и эффективен.