Почему "pure" требуется только для Applicative, а не для Functor?

Читая этот Wikibook об основах теории Хаскелла и теории категорий, я узнаю о функторах:

Функтор по сути является преобразованием между категориями, поэтому для заданных категорий C и D функтор F: C -> D

сопоставляет любой объект A в C с F(A) в D.

отображает морфизмы f: A -> B в C на F(f): F(A) -> F(B) в D.

... что звучит все хорошо. Позже приведен пример:

Давайте также рассмотрим пример:

instance Functor Maybe where
  fmap f (Just x) = Just (f x)
  fmap _ Nothing  = Nothing

Вот ключевая часть: конструктор типов Maybe переносит любой тип T в новый тип, Maybe T. Кроме того, fmap, ограниченный типом Maybe, переводит функцию a -> b в функцию Maybe a -> Maybe b. Но это все! Мы определили две части: что-то, что переводит объекты в Hask в объекты в другой категории (в типах Maybe и функциях, определенных в типах Maybe), и то, что переводит морфизмы в Hask в морфизмы в этой категории. Так что, возможно, это функтор.

Я понимаю, как определение fmap это ключ. Я запутался в том, как "конструктор типов Maybe" предоставляет первую часть. Я бы предпочел что-то вроде pure,

Если я правильно понял, Maybe скорее карты C в D, (Таким образом, это морфизм на уровне категории, который может быть требованием для Функтора)

Я думаю, вы могли бы перефразировать мой вопрос следующим образом: есть ли Functor, который не имеет очевидной реализации pure?

Источник

4 ответа

Решение

Я думаю, что вы путаетесь между типами и значениями. Вот определение функтора:

Пусть C и D категории. Функтор F от C до D - это отображение, которое:

  • сопоставляет каждому объекту X ∈ C объект F (X) ∈ D.

  • сопоставляет каждому морфизму f: X → Y ∈ C морфизм F(f): F(X) → F(Y) ∈ D, так что выполняются следующие условия:

    • F (id: X → X) = id: F (X) → F (X) для каждого объекта X ∈ C.
    • F (g ∘ f) = F (g) ∘ F (f) для всех морфизмов f: X → Y и g: Y → Z.

Категория состоит из объектов и морфизмов между объектами.

Весь код в Haskell является частью Hask, категории Haskell. В Hask:

  1. Типы являются объектами.
  2. Функции - это морфизмы между типами.

Следовательно, все Functor экземпляры в Haskell являются функторами от Hask до Hask (то есть они являются эндофункторами).

Говоря более строго, для всех случаев Functor в Хаскеле:

  1. C = Hask,
  2. D = Hask,

Теперь каждый функтор F является отображением, которое связывает с каждым объектом X ∈ C объект F (X) ∈ D.

  1. Обратите внимание, что X и F (X) являются объектами C и D соответственно.
  2. Поскольку C и D являются Hask, X и F (X) являются типами, а не значениями.
  3. Таким образом, F: Тип → Тип или в Хаскеле f : * -> *,

Действительно, именно так Functor Тип класса определен в Haskell:

class Functor (f : * -> *) where
    fmap :: (x -> y) -> (f x -> f y)

Вот, fmap это вторая часть функтора. Это функция от значений к значениям. Тем не менее Functor сам по себе является конструктором типов (то есть отображением типов в типы). Это причина Maybe является функтором и [] это функтор, но Maybe Int а также [Int] не функторы.

Обратите внимание, что pure не формирует первую часть определения функтора, потому что это отображение из экземпляра X в экземпляр F (X) (то есть это функция от значений к значениям). Однако нам нужно отображение из X в F (X) (то есть отображение из типов в типы).

Источник

Если я правильно понял, Maybe скорее карты C в D, (Таким образом, это морфизм на уровне категории, который может быть требованием для Функтора)

Не совсем, как C а также D Есть категории, а не типы Haskell. Functor (то есть экземпляр класса типа, в отличие от функтора в целом) представляет собой отображение из категории Hask (категория типов и функций Haskell) на сам Hask; то есть, C а также D оба Хаск в этом случае. В главе Wikibook упоминается, что в разделе Функторы на Hask. В вашем примере Maybe Конструктор типов обеспечивает первую часть отображения, принимая некоторый тип a (объект в Hask) к типу Maybe a (еще один объект в Hask).

Я думаю, вы могли бы перефразировать мой вопрос следующим образом: есть ли Functor что не имеет очевидной реализации pure?

Одним из примеров является пара Functor, (,) a, fmap легко написать - \f (x, y) -> (x, f y) -- но pure а также (<*>) требовать Monoid ограничение на a, так как не было бы никакого способа справиться с дополнительным a значения в противном случае. Для более подробного обсуждения и других примеров см. Хорошие примеры Не Функтор / Функтор /Applicative/Monad?

Источник

Я бы сказал, что Applicative Экземпляр рода становится отрезком для Either (что я был бы прекрасно с просто иметь экземпляр для Bifunctor, но с другой стороны использовать его как монаду удобно), и (ИМХО) было бы неуместно для чего-то вроде:

data ABC a = A a | B a | C a

Где все A,B,C "одинаково хорошо". Поскольку нет очевидного выбора, для которого следует использовать pure, это не должно быть предоставлено вообще. имеющий fmap все еще отлично, хотя.

Источник

Категория Hask имеет типы в качестве объектов и функции в виде стрелок, поэтому сопоставление объектов, предоставляемое экземпляром Functor, должно сопоставлять типы с типами.

fmap отображает стрелки, т.е. отображает функции a -> b к функциям f a -> f b для функтора ф. Конструктор типа Functor - это отображение объектов, то есть между типами.

Например, Maybe конструктор типа отображает тип t к типу Maybe t например String в Maybe String,

По сравнению, pure отображает значения некоторого базового типа на значение соответствующего аппликативного типа, например, "abc" и (Just "abc") оба являются значениями String а также Maybe String соответственно.

Источник
Другие вопросы по тегам