Эффективный способ округлить числа с двойной точностью до более низкой точности, заданной в количестве бит

Question

В C# я хочу округлить двойные числа с меньшей точностью, чтобы я мог хранить их в контейнерах различного размера в ассоциативном массиве. В отличие от обычного округления, я хочу округлить до нескольких значащих битов. Таким образом, большие числа будут меняться в абсолютном выражении гораздо больше, чем маленькие числа, но они будут иметь тенденцию меняться пропорционально. Поэтому, если я хочу округлить до 10 двоичных разрядов, я найду десять старших разрядов и обнулю все младшие разряды, возможно, добавив небольшое число для округления.

Я предпочитаю, чтобы "промежуточные" числа были округлены.

Если бы это был целочисленный тип, здесь был бы возможный алгоритм:

  1. Find: zero-based index of the most significant binary digit set H.
  2. Compute: B = H - P, 
       where P is the number of significant digits of precision to round
       and B is the binary digit to start rounding, where B = 0 is the ones place, 
       B = 1 is the twos place, etc. 
  3. Add: x = x + 2^B 
       This will force a carry if necessary (we round halfway values up).
  4. Zero out: x = x mod 2^(B+1). 
       This clears the B place and all lower digits.

Проблема в том, чтобы найти эффективный способ найти самый высокий набор битов. Если бы я использовал целые числа, есть классные хаки, чтобы найти MSB. Я не хочу звонить Раунду (Log2(x)), если смогу помочь. Эта функция будет вызываться много миллионов раз.

Примечание: я прочитал этот ТАК вопрос:

Каков хороший способ округления значений двойной точности до (несколько) более низкой точности?

Это работает для C++. Я использую C#.

ОБНОВИТЬ:

Это код (модифицированный от того, что предоставил ответчик), поскольку я использую его:

/// <summary>
/// Round numbers to a specified number of significant binary digits.
/// 
/// For example, to 3 places, numbers from zero to seven are unchanged, because they only require 3 binary digits,
/// but larger numbers lose precision:
/// 
///      8    1000 => 1000   8
///      9    1001 => 1010  10
///     10    1010 => 1010  10
///     11    1011 => 1100  12
///     12    1100 => 1100  12
///     13    1101 => 1110  14
///     14    1110 => 1110  14
///     15    1111 =>10000  16
///     16   10000 =>10000  16
///     
/// This is different from rounding in that we are specifying the place where rounding occurs as the distance to the right
/// in binary digits from the highest bit set, not the distance to the left from the zero bit.
/// </summary>
/// <param name="d">Number to be rounded.</param>
/// <param name="digits">Number of binary digits of precision to preserve. </param>
public static double AdjustPrecision(this double d, int digits)
{
    // TODO: Not sure if this will work for both normalized and denormalized doubles. Needs more research.
    var shift = 53 - digits; // IEEE 754 doubles have 53 bits of significand, but one bit is "implied" and not stored.
    ulong significandMask = (0xffffffffffffffffUL >> shift) << shift;
    var local_d = d;
    unsafe
    {
        // double -> fixed point (sorta)
        ulong toLong = *(ulong*)(&local_d);
        // mask off your least-sig bits
        var modLong = toLong & significandMask;
        // fixed point -> float (sorta)
        local_d = *(double*)(&modLong);
    }
    return local_d;
}

ОБНОВЛЕНИЕ 2: алгоритм Деккера

Я получил это из алгоритма Деккера, благодаря другому респонденту. Он округляется до ближайшего значения вместо усечения, как в приведенном выше коде, и использует только безопасный код:

private static double[] PowersOfTwoPlusOne;

static NumericalAlgorithms()
{
    PowersOfTwoPlusOne = new double[54];
    for (var i = 0; i < PowersOfTwoPlusOne.Length; i++)
    {
        if (i == 0)
            PowersOfTwoPlusOne[i] = 1; // Special case.
        else
        {
            long two_to_i_plus_one = (1L << i) + 1L;
            PowersOfTwoPlusOne[i] = (double)two_to_i_plus_one;
        }
    }
}

public static double AdjustPrecisionSafely(this double d, int digits)
{
    double t = d * PowersOfTwoPlusOne[53 - digits];
    double adjusted = t - (t - d);
    return adjusted;
}

ОБНОВЛЕНИЕ 2: СРОКИ

Я запустил тест и обнаружил, что алгоритм Деккера лучше, чем ДВАЖДЫ, так быстро!

Количество вызовов в тесте: 100000000
Небезопасное время = 1,922 (сек)
Безопасное время = 0,799 (сек)

Answer 1

Алгоритм Деккера разделит число с плавающей точкой на верхнюю и нижнюю части. Если в значении есть s бит (53 в 64-битном двоичном коде IEEE 754), то *x0 получает старшие биты s-b, что вы и просили, и *x1 получает оставшиеся биты, которые вы можете сбросить. В приведенном ниже коде Scale должен иметь значение 2^б. Если b известно во время компиляции, например, константа 43, вы можете заменить Scale с 0x1p43, В противном случае вы должны каким-то образом произвести 2^б.

Для этого требуется режим округления до ближайшего. IEEE 754 достаточно, но может быть и другая разумная арифметика. Он округляет связи до четного, а это не то, что вы просили (связывает вверх). Это необходимо?

Это предполагает, что x * (Scale + 1) не переполняется Операции должны оцениваться с двойной точностью (не выше).

void Split(double *x0, double *x1, double x)
{
    double d = x * (Scale + 1);
    double t = d - x;
    *x0 = d - t;
    *x1 = x - *x0;
}

Answer 2

Интересно... никогда не слышал о необходимости в этом, но я думаю, что вы можете "сделать это" с помощью какого-то забавного небезопасного кода...

void Main()
{
    // how many bits you want "saved"
    var maxBits = 20;

    // create a mask like 0x1111000 where # of 1's == maxBits
    var shift = (sizeof(int) * 8) - maxBits;
    var maxBitsMask = (0xffffffff >> shift) << shift;

    // some floats
    var floats = new []{ 1.04125f, 2.19412347f, 3.1415926f};
    foreach (var f in floats)
    {
        var localf = f;
        unsafe
        {
            // float -> fixed point (sorta)
            int toInt = *(int*)(&localf);
            // mask off your least-sig bits
            var modInt = toInt & maxBitsMask;
            // fixed point -> float (sorta)
            localf = *(float*)(&modInt);
        }
        Console.WriteLine("Was {0}, now {1}", f, localf);
    }
}

И с двойниками:

void Main()
{
    var maxBits = 50;
    var shift = (sizeof(long) * 8) - maxBits;
    var maxBitsMask = (0xffffffffffffffff >> shift) << shift;
    var doubles = new []{ 1412.04125, 22.19412347, 3.1415926};
    foreach (var d in doubles)
    {
        var local = d;
        unsafe
        {
            var toLong = *(ulong*)(&local);
            var modLong = toLong & maxBitsMask;
            local = *(double*)(&modLong);
        }
        Console.WriteLine("Was {0}, now {1}", d, local);
    }
}

Ой... меня не приняли.:)

Для полноты, здесь используется "небезопасный" подход Jeppe:

void Main()
{
    var maxBits = 50;
    var shift = (sizeof(long) * 8) - maxBits;
    var maxBitsMask = (long)((0xffffffffffffffff >> shift) << shift);
    var doubles = new []{ 1412.04125, 22.19412347, 3.1415926};
    foreach (var d in doubles)
    {
        var local = d;
        var asLong = BitConverter.DoubleToInt64Bits(d);
        var modLong = asLong & maxBitsMask;
        local = BitConverter.Int64BitsToDouble(modLong);
        Console.WriteLine("Was {0}, now {1}", d, local);
    }
}