Двойная интеграция с использованием экспериментальных данных

Question

Мне нужно выполнить двойную интеграцию с использованием экспериментальных данных, но мои пределы интегрирования одинаковы для каждого интеграла, в данном случае времени. Математически мне нужно рассчитать:

E [a₀+ ∫₀^T a (t) dt] = a + lim_{Tx → ∞} (1 / T) ∫₀^T ∫₀^t a dt dT

После некоторых поисков я достиг:

T = 0:0.1:600;
x = T;
A = rand(1,length(T)); % my data
pp_int = spline(T,A );
DoubleIntegration = integral(@(x)arrayfun(@(T )(integral(@(T ) ppval(pp_int,T ),0,  T  )),x),0,T(end)  );

Код работал так долго и давал огромные значения. Я думаю, что моя проблема в том, что у Matlab могут быть проблемы со сплайнами, но я не знаю, как это решить.

Answer 1

Прежде всего, вы не должны использовать одну и ту же букву для множества вещей; Ваш код довольно трудно читать, потому что нужно выяснить, что означает T в каждом случае.

Во-вторых, помогает чистая математика: после замены переменных и простого вычисления двойной интеграл становится единым интегралом:

^T ₀ ^T ∫ ₀ ^x a (t) dt dx = ∫ ₀ ^T ∫ _t ^T a (t) dx dt = ∫ ₀ ^T (Tt)*a(t) dt

Я использовал неслучайные данные в меньшем диапазоне для демонстрации:

T = 0:0.1:60;
x = T;
A = sin(T.^2); % my data
pp_int = spline(T,A );
tic
DoubleIntegration = integral(@(x) arrayfun(@(T )(integral(@(T ) ppval(pp_int,T ),0,  T  )),x),0,T(end)  );
toc
tic
SingleIntegration = integral(@(t) (T(end)-t).*ppval(pp_int,t), 0, T(end));
toc
disp(DoubleIntegration)
disp(SingleIntegration)

Выход:

Elapsed time is 27.751744 seconds.
Elapsed time is 0.007223 seconds.
   51.3593

   51.3593

Тот же результат, в 3800 раз быстрее.