Ненулевой вектор в квантификаторе

Question

Я хочу проверить формулу формы:

Exists p . ForAll x != 0 . f(x, p) > 0

Реализация (которая не работает) заключается в следующем:

def f0(x0, x1, x, y):
    return x1 ** 2 * y + x0 ** 2 * x

s = Solver()
x0, x1 = Reals('x0 x1')
p0, p1 = Reals('p0 p1')

s.add(Exists([p0, p1], 
                ForAll([x0, x1], 
                          f0(x0, x1, p0, p1) > 0
                      )
            ))
#s.add(Or(x0 != 0, x1 != 0))

while s.check() == sat:
    m = s.model()
    m.evaluate(x0, model_completion=True)
    m.evaluate(x1, model_completion=True)
    m.evaluate(p0, model_completion=True)
    m.evaluate(p1, model_completion=True)
    print m
    s.add(Or(x0 != m[x0], x1 != m[x1])) 

Формула не выполняется.

С f0() >= 0, единственный выход (0, 0),

я хочу иметь f0() > 0 и сдерживать (x0, x1) != (0, 0),

Что-то, что я ожидал бы, является: p0, p1 = 1, 1 или же 2, 2 например, но я не знаю, как удалить 0, 0 из возможных значений для x0, x1,

Answer 1

В продолжение ответа Левента. Во время первой проверки Z3 использует пользовательскую процедуру принятия решения, которая работает с квантификаторами. В инкрементном режиме все сводится к тому, что не является процедурой принятия решения. Для принудительного решения проблемы с одним выстрелом попробуйте следующее:

from z3 import *

def f0(x0, x1, x, y):
    return x1 * x1 * y + x0 * x0 * x

p0, p1 = Reals('p0 p1')

x0, x1 = Reals('x0 x1')
fmls = [ForAll([x0, x1], Implies(Or(x0 != 0, x1 != 0), f0(x0, x1, p0, p1) > 0))]

while True:
    s = Solver()
    s.add(fmls)
    res = s.check()
    print res
    if res == sat:
        m = s.model()
        print m
        fmls += [Or(p0 != m[p0], p1 != m[p1])]
    else:
       print "giving up"
       break

Answer 2

Вы просто напишите это как следствие внутри количественного определения. Я думаю, что вы также перепутали некоторые переменные там. Следующее, кажется, отражает ваши намерения:

from z3 import *

def f0(x0, x1, x, y):
    return x1 * x1 * y + x0 * x0 * x

s = Solver()
p0, p1 = Reals('p0 p1')

x0, x1 = Reals('x0 x1')
s.add(ForAll([x0, x1], Implies(Or(x0 != 0, x1 != 0), f0(x0, x1, p0, p1) > 0)))

while True:
    res = s.check()
    print res
    if res == sat:
        m = s.model()
        print m
        s.add(Or(p0 != m[p0], p1 != m[p1]))
    else:
        print "giving up"
        break

Конечно, z3 не гарантирует вам каких-либо решений; хотя, кажется, справиться с одним:

$ python a.py
sat
[p1 = 1, p0 = 1]
unknown
giving up

Как только вы используете квантификаторы, все ставки отключаются, так как логика становится полуразрешимой. Z3 делает хорошую работу здесь и возвращает одно решение, а затем сдается. Я не думаю, что вы можете ожидать чего-то лучшего, если вы не используете некоторые собственные процедуры принятия решений.