Влияние S-гейта на один кубит комбинированного (возможно запутанного) состояния из трех кубитов

Question

Предположим, у меня есть регистр (qs) из 3 кубитов (первые 2 используются исключительно для управления, последний - вход). Первые два контрольных кубита находятся в |+> состояние и состояние 3-го входа неизвестно. Будь как будет a|0> + b|1>,

Теперь я применяю CCNOT(qs[0],qs[1],qs[2]), поэтому их объединенное состояние становится 0.5(a,b,a,b,a,b,b,a) в транспонированной матричной форме [Пожалуйста, исправьте, если я ошибаюсь здесь] . Теперь я применяю S-gate к 3-му кубиту, который преобразует |1> -> i|1>,

Сейчас я не могу угадать состояние комбинированного состояния "qs".

Что я думал:

1. Одна логика - умножить каждое состояние на "i", если оно имеет вид|XY1> поэтому объединенное состояние становится 0.5(a,ib,a,ib,a,ib,b,ia) [Transposed]
2. Другая логика - найти тензорное произведение (I x I x S) так как я не меняю первые 2 кубита. Выполнение этого дает другой результат, который 0.5(a,b,a,b,ia,ib,ib,ia) [Transposed] [Опять поправьте меня, если я ошибаюсь] .

Какой правильный вывод после прохождения через S-gate (если есть)?

Answer 1

Первые два кубита не могут начинаться в состоянии |+>, поскольку |+> является состоянием одного кубита. Я предполагаю, что начальное состояние первых двух кубитов в регистре 0.5 (|00> + |01> + |10> + |11>),

Оба подхода верны, потому что это разные способы представления одной и той же трансформации. Первый ответ 0.5(a,ib,a,ib,a,ib,b,ia) [Transposed] верно. Ваш второй ответ 0.5(a,b,a,b,ia,ib,ib,ia) [Transposed] кажется, получается умножением на S x I x Iт.е. применяя S ворота на первом кубите вместо третьего.

Тензорное произведение I x I x S можно рассчитать как тензорное произведение I x I (которая является просто единичной матрицей 4х4) и S, В результате получается матрица 8x8, которая состоит из 16 копий S матрица, умноженная на соответствующие элементы I x I:

1 0 | 0 0 | 0 0 | 0 0
0 i | 0 0 | 0 0 | 0 0
- -   - -   - -   - -
0 0 | 1 0 | 0 0 | 0 0
0 0 | 0 i | 0 0 | 0 0
- -   - -   - -   - -
0 0 | 0 0 | 1 0 | 0 0
0 0 | 0 0 | 0 i | 0 0
- -   - -   - -   - -
0 0 | 0 0 | 0 0 | 1 0
0 0 | 0 0 | 0 0 | 0 i

Если вы умножите состояние кубитов на эту матрицу, вы получите тот же ответ, что и в первом подходе.