Можете ли вы сформулировать пузырьковую сортировку как моноид или полугруппу?

Question

Учитывая следующий псевдокод для пузырьковой сортировки

procedure bubbleSort( A : list of sortable items )
   repeat     
     swapped = false
     for i = 1 to length(A) - 1 inclusive do:
       /* if this pair is out of order */
       if A[i-1] > A[i] then
         /* swap them and remember something changed */
         swap( A[i-1], A[i] )
         swapped = true
       end if
     end for
   until not swapped
end procedure

Вот код для Bubble Sort as Scala

def bubbleSort[T](arr: Array[T])(implicit o: Ordering[T]) {
  import o._
  val consecutiveIndices = (arr.indices, arr.indices drop 1).zipped
  var hasChanged = true
  do {
    hasChanged = false
    consecutiveIndices foreach { (i1, i2) =>
      if (arr(i1) > arr(i2)) {
        hasChanged = true
        val tmp = arr(i1)
        arr(i1) = arr(i2)
        arr(i2) = tmp
      }
    }
  } while(hasChanged)
}

Это реализация Haskell:

bsort :: Ord a => [a] -> [a]
bsort s = case _bsort s of
               t | t == s    -> t
                 | otherwise -> bsort t
  where _bsort (x:x2:xs) | x > x2    = x2:(_bsort (x:xs))
                         | otherwise = x:(_bsort (x2:xs))
        _bsort s = s

Можно ли сформулировать это как моноид или полугруппу?

Answer 1

Я использую свой телефон с плохим подключением к сети, но здесь идет.

tl; dr bubblesort - сортировка вставкой - моноидальная "дробь" для моноида упорядоченных списков со слиянием.

Упорядоченные списки образуют моноид.

newtype OL x = OL [x]
instance Ord x => Monoid (OL x) where
  mempty = OL []
  mappend (OL xs) (OL ys) = OL (merge xs ys) where
    merge [] ys = ys
    merge xs [] = xs
    merge xs@(x : xs') ys@(y : ys')
       | x <= y = x : merge xs' ys
       | otherwise = y : merge xs ys'

Сортировка вставки дается

isort :: Ord x => [x] -> OL x
isort = foldMap (OL . pure)

потому что вставка точно объединяет одноэлементный список с другим списком. (Mergesort задается путем построения сбалансированного дерева, а затем с использованием той же карты foldMap.)

Какое это имеет отношение к пузырьковой сортировке? Сортировка вставок и сортировка пузырьков имеют одинаковую стратегию сравнения. Это можно увидеть, если нарисовать как сеть сортировки, состоящую из блоков сравнения и обмена. Здесь данные передаются вниз, а нижние входы в блоки [n] идут влево:

| | | |
[1] | |
| [2] |
[3] [4]
| [5] |
[6] | |
| | | |

Если вы выполняете сравнения в последовательности, указанной в приведенной выше нумерации, вырезая диаграмму в / слайсы, вы получаете вставку сортировки: первая вставка не нуждается в сравнении; второй нуждается в сравнении 1; третий 2,3; последние 4,5,6.

Но если вместо этого вы режете \ ломтики...

| | | |
[1] | |
| [2] |
[4] [3]
| [5] |
[6] | |
| | | |

... вы делаете пузырьковую сортировку: первый проход 1,2,3; второй проход 4,5; последний проход 6.