Относится ли f(x) = 2*x + 1 к $o(X)$?

Question

Предположим, что функция f: R -> R определена как f(x) = mx + c для некоторых m, c > 0 и x в R. Принадлежит ли f (x) к o(x)?

Если ответ "НЕТ", можем ли мы заключить, что o (x) не содержит должным образом набор сублинейных функций?

Причина, по которой я спрашиваю это: легко увидеть, что f (x) является сублинейной, потому что f(x1) + f(x2) = mx1 + c + mx2 + c > m(x1+x2) + c = F (x 1 + х2). Но lim x-> infinity f(x)/x = 2. В этом смысле f (x) не находится в o (x). Но o (x) представляет собой множество сублинейных функций. Отсюда и моё замешательство.

Answer 1

Нет, f(x) = 2x + 1 ∉ o(x).

Я думаю, что ваша путаница происходит от определения сублинейного. Линейная алгебра и информатика используют здесь два разных значения:

• В линейной алгебре сублинейные функции являются обобщением линейных функций, то есть каждая линейная функция является сублинейной функцией. Как вы показали в вопросе, ваш f (x) удовлетворяет критерию субаддитивности.

• В информатике линейное и сублинейное описание асимптотического поведения. Сублинейная функция - это функция, которая растет медленнее, чем любая линейная функция, при достаточно большом входном сигнале. Таким образом, никакая линейная функция не является сублинейной функцией.

Таким образом, ваш f (x) является сублинейной относительно линейной алгебры, но это не сублинейный относительно информатики.