Генератор циклических групп [1, 2, 3, 4, 5, 6] при умножении по модулю 7

Question

Найти все образующие в циклической группе [1, 2, 3, 4, 5, 6] при умножении по модулю 7. Я получил <1> и <5> в качестве генераторов. Ответ <3> и <5>. Может кто-нибудь сказать, пожалуйста, почему 3 генератора?

Answer 1

Вы вычисляете циклические подгруппы из [1, 2, 3, 4, 5, 6] путем вычисления степеней каждого элемента:

• 1 = {1 ^ 1 мод 7 = 1, 1 ^ 2 мод 7 = 1,...}
• 2 = {2 ^ 1 мод 7 = 2, 2 ^ 2 мод 7 = 4,...}
• 3 = {3, 2, 6, 4, 5, 1}
• 4 = {4, 2, 1}
• 5 = {5, 4, 6, 2, 3, 1}
• 6 = {6,1}

Из этого вы можете видеть, что 3 и 5 являются циклическими.