Если f = O(g), то e^f = O(e^g)?

Question

Если f = O(g), является e^f = O(e^g)?

У меня трудно разобраться с вышеуказанным вопросом. Пример будет приветствоваться. Кроме того, если вы используете правило l'Hôpital, пожалуйста, покажите, как вы делаете дифференциацию.

Answer 1

Это утверждение неверно, например, 2n = O(n), но exp(2n)!= O(exp(n)). (Последнее означало бы exp(2n) <= C exp(n) для достаточно большого n, то есть exp(n) <= C, что неверно.)

Answer 2

Претензия неверна.

Например, мы не сомневаемся, что 2n является элементом O(n), Но мы можем доказать, что exp(2n) не является элементом O(exp(n)), Это можно легко увидеть, вычислив

                 exp(2n)
     lim        -------- = infinity
n -> infinity     exp(n)

что подразумевает, что exp(2n) не в O(exp(n)),

Учитывая ваш намек на L'Hospital: это правило для вычисления лимитов с использованием производных, точнее:

                f(x)                       f'(x)
     lim       ------  =        lim     -----------
n -> infinity   g(x)      n -> infinity    g'(x)

при определенных обстоятельствах (например, оба f а также g стремиться к бесконечности. Я не знаю точных критериев, которые должны быть выполнены, поэтому я просто предлагаю прочитать это для получения дополнительной информации.

Но что мы можем сказать о функциях и их производных:

Если f'(x) является элементом O(g'(x))то есть f(x) является элементом O(g(x)), Другое направление не так.

Answer 3

Я постараюсь помочь вам с L'Hôpital's:

$ \ lim_ {x \ to a} {f (x) \ over g (x)} = \ lim_ {x \ to a} {f '(a) \ over g' (a)}

Мы используем это для решения неопределенности inf/inf или 0/0. Но ваша проблема не в том, что я думаю, а, может быть, когда вы пытаетесь получить O (g (n)) или exp (f (n)), которые являются составными функциями.

Цепное правило для получения составных функций таково: (туман) (x) = f '(g (x)). G' (x)

если вы будете следовать этому, вы можете получить любую составную функцию.