Как выполнить 2D свертку, используя 1D свертку?

Question

Предположим,

u = [1 2 1 3 ; 1 2 1 3 ; 1 2 1 3];
v = [2 0 1 ; 2 0 1 ; 2 0 1];

Я хочу добиться

w = conv2(u, v);    % [2 4 3 8 1 3 ; 4 8 6 16 2 6 ; 6 12 9 24 3 9 ; 4 8 6 16 2 6 ; 2 4 3 8 1 3]

И, предположим, я не хочу использовать conv2(),

Используя Matlab, я обнаружил, что

w1 = conv([1 2 1 3], [2 0 1])   % [2 4 3 8 1 3]
w2 = conv([1 2 1 3], [2 0 1])   % [2 4 3 8 1 3]
w3 = conv([1 2 1 3], [2 0 1])   % [2 4 3 8 1 3]

Итак, мы получаем:

w123 = [w1 ; w2 ; w3]           % [2 4 3 8 1 3 ; 2 4 3 8 1 3 ; 2 4 3 8 1 3];

Используя Matlab, я также обнаружил, что

x = [2 ; 2 ; 2]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [2 ; 4 ; 6 ; 4 ; 2];

x = [4 ; 4 ; 4]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [4 ; 8 ; 12 ; 8 ; 4];

x = [3 ; 3 ; 3]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [3 ; 6 ; 9 ; 6 ; 3];

x = [8 ; 8 ; 8]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [8 ; 16 ; 24 ; 16 ; 8];

x = [1 ; 1 ; 1]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [1 ; 2 ; 3 ; 2 ; 1];

x = [3 ; 3 ; 3]
y = [1 ; 1 ; 1]
z = conv(x, y); % [3 ; 6 ; 9 ; 6 ; 3];

Это означает, что если мы выполним 1D свертку на каждом ряду u с ядром [2 0 1], а затем применить 1D свертку на каждом столбце с ядром [1; 1; 1], мы получаем:

2  4  3  8  1  3
4  8  6 16  2  6
6 12  9 24  3  9
4  8  6 16  2  6
2  4  3  8  1  3

Итак, мой вопрос, где это [1 ; 1 ; 1] родом из?

И, самое главное, что произойдет, если строки не совпадают?

Answer 1

Причина того, что ваши 1D свертки объединяются, чтобы дать вам те же результаты, что и 2D свертка, заключается в том, что ваш фильтр отделим. Стив Эддинс обсудил разделимые свертки в своем блоге MATLAB здесь.

Ваш фильтр отделим, потому что:

[1;1;1] * [2,0,1] = 

   2   0   1
   2   0   1
   2   0   1

Но в целом не все 2D-фильтры являются разделимыми, и только те из них, которые можно превратить в отдельные одномерные свертки.

Answer 2

Я полагаю, потому что ваша матрица v это один и тот же ряд 3 раза. Поэтому вы можете просто использовать 2-ую свертку с [1 1 1] над колоннами