Добавление факторизации колес на неопределенное сито
Отсюда я изменяю неопределенное сито Эратосфена, чтобы он использовал факторизацию колес, чтобы пропустить больше композиций, чем его текущая форма простой проверки всех шансов.
Я разработал, как генерировать шаги, которые нужно предпринять, чтобы достичь всех промежутков вдоль колеса. Оттуда я решил, что могу просто заменить +2 на эти ступени колеса, но это заставляет сито пропускать простые числа. Вот код:
from itertools import count, cycle
def dvprm(end):
"finds primes by trial division. returns a list"
primes=[2]
for i in range(3, end+1, 2):
if all(map(lambda x:i%x, primes)):
primes.append(i)
return primes
def prod(seq, factor=1):
"sequence -> product"
for i in seq:factor*=i
return factor
def wheelGaps(primes):
"""returns list of steps to each wheel gap
that start from the last value in primes"""
strtPt= primes.pop(-1)#where the wheel starts
whlCirm= prod(primes)# wheel's circumference
#spokes are every number that are divisible by primes (composites)
gaps=[]#locate where the non-spokes are (gaps)
for i in xrange(strtPt, strtPt+whlCirm+1, 2):
if not all(map(lambda x:i%x,primes)):continue#spoke
else: gaps.append(i)#non-spoke
#find the steps needed to jump to each gap (beginning from the start of the wheel)
steps=[]#last step returns to start of wheel
for i,j in enumerate(gaps):
if i==0:continue
steps.append(j - gaps[i-1])
return steps
def wheel_setup(num):
"builds initial data for sieve"
initPrms=dvprm(num)#initial primes from the "roughing" pump
gaps = wheelGaps(initPrms[:])#get the gaps
c= initPrms.pop(-1)#prime that starts the wheel
return initPrms, gaps, c
def wheel_psieve(lvl=0, initData=None):
'''postponed prime generator with wheels
Refs: http://stackru.com/a/10733621
http://stackru.com/a/19391111'''
whlSize=11#wheel size, 1 higher prime than
# 5 gives 2- 3 wheel 11 gives 2- 7 wheel
# 7 gives 2- 5 wheel 13 gives 2-11 wheel
#set to 0 for no wheel
if lvl:#no need to rebuild the gaps, just pass them down the levels
initPrms, gaps, c = initData
else:#but if its the top level then build the gaps
if whlSize>4:
initPrms, gaps, c = wheel_setup(whlSize)
else:
initPrms, gaps, c= dvprm(7), [2], 9
#toss out the initial primes
for p in initPrms:
yield p
cgaps=cycle(gaps)
compost = {}#found composites to skip
ps=wheel_psieve(lvl+1, (initPrms, gaps, c))
p=next(ps)#advance lower level to appropriate square
while p*p < c:
p=next(ps)
psq=p*p
while True:
step1 = next(cgaps)#step to next value
step2=compost.pop(c, 0)#step to next multiple
if not step2:
#see references for details
if c < psq:
yield c
c += step1
continue
else:
step2=2*p
p=next(ps)
psq=p*p
d = c + step2
while d in compost:
d+= step2
compost[d]= step2
c += step1
Я использую это, чтобы проверить это:
def test(num=100):
found=[]
for i,p in enumerate(wheel_psieve(), 1):
if i>num:break
found.append(p)
print sum(found)
return found
Когда я устанавливаю размер колеса в 0, я получаю правильную сумму 24133 для первых ста простых чисел, но когда я использую любой другой размер колеса, я получаю пропущенные простые числа, неправильные суммы и составные числа. Даже колесо 2-3 (которое использует альтернативные шаги 2 и 4) заставляет сито пропустить простые числа. Что я делаю неправильно?
2 ответа
Шансы, то есть 2-взаимные, генерируются путем "прокручивания колеса" [2] то есть путем многократного добавления 2, начиная с начального значения 3 (аналогично с 5, 7, 9, ...),
n=3; n+=2; n+=2; n+=2; ... # wheel = [2]
3 5 7 9
2-3-копримы генерируются путем повторного добавления 2, затем 4, и снова 2, затем 4 и так далее:
n=5; n+=2; n+=4; n+=2; n+=4; ... # wheel = [2,4]
5 7 11 13 17
Здесь нам нужно знать, с чего начать добавлять отличия от 2 или 4, в зависимости от начального значения. Для 5, 11, 17, ... это 2 (т. Е. 0-й элемент колеса); для 7, 13, 19, ... это 4 (т.е. 1-й элемент).
Как мы можем знать, с чего начать? Смысл в оптимизации колесика заключается в том, что мы работаем только над этой последовательностью взаимно простых чисел (в данном примере это 2-3 коприма). Поэтому в той части кода, где мы получаем рекурсивно сгенерированные простые числа, мы также будем поддерживать поток катящегося колеса и продвигать его, пока не увидим следующее простое число в нем. Последовательность прокатки должна дать два результата - значение и положение колеса. Таким образом, когда мы видим простое число, мы также получаем соответствующую позицию колеса, и мы можем начать генерирование его кратных, начиная с этой позиции на колесе. Мы умножаем все на p конечно, чтобы начать с p*p:
for (i, p) # the (wheel position, summated value)
in enumerated roll of the wheel:
when p is the next prime:
multiples of p are m = p*p; # map (p*) (roll wheel-at-i from p)
m += p*wheel[i];
m += p*wheel[i+1]; ...
Таким образом, каждая запись в dict должна будет поддерживать свое текущее значение, базовое простое число и текущее положение колеса (при необходимости, округляя до 0 для округлости).
Чтобы получить результирующие простые числа, мы бросаем еще одну последовательность простых чисел и сохраняем только те ее элементы, которые отсутствуют в dict, как в ссылочном коде.
обновление: после нескольких итераций по просмотру кода (большое спасибо авторам!) я пришел к этому коду, максимально используя itertools, для скорости:
from itertools import accumulate, chain, cycle, count
def wsieve(): # wheel-sieve, by Will Ness. ideone.com/mqO25A
wh11 = [ 2,4,2,4,6,2,6,4,2,4,6, 6,2,6,4,2,6,4,6,8,4,2, 4,
2,4,8,6,4,6,2,4,6,2,6, 6,4,2,4,6,2,6,4,2,4,2, 10,2,10]
cs = accumulate(chain([11], cycle(wh11))) # roll the wheel from 11
yield(next(cs)) # cf. ideone.com/WFv4f,
ps = wsieve() # codereview.stackexchange.com/q/92365/9064
p = next(ps) # 11
psq = p**2 # 121
D = dict(zip(accumulate(chain([0], wh11)), count(0))) # wheel roll lookup dict
mults = {}
for c in cs: # candidates, coprime with 210, from 11
if c in mults:
wheel = mults.pop(c)
elif c < psq:
yield c
continue
else: # c==psq: map (p*) (roll wh from p) = roll (wh*p) from (p*p)
i = D[(p-11) % 210] # look up wheel roll starting point
wheel = accumulate( chain( [psq],
cycle( [p*d for d in wh11[i:] + wh11[:i]])))
next(wheel)
p = next(ps)
psq = p**2
for m in wheel: # pop, save in m, and advance
if m not in mults:
break
mults[m] = wheel # mults[143] = wheel@187
def primes():
yield from (2, 3, 5, 7)
yield from wsieve()
В отличие от приведенного выше описания, этот код напрямую вычисляет, где начать вращать колесо для каждого простого числа, чтобы сгенерировать его кратные
Это версия, которую я придумал. Это не так чисто, как Несс, но это работает. Я публикую это, так что есть еще один пример того, как использовать факторинг колес на случай, если кто-нибудь придет. Я оставил возможность выбирать, какой размер колеса использовать, но легко придумать более постоянный - просто сгенерируйте нужный размер и вставьте его в код.
from itertools import count
def wpsieve():
"""prime number generator
call this function instead of roughing or turbo"""
whlSize = 11
initPrms, gaps, c = wheel_setup(whlSize)
for p in initPrms:
yield p
primes = turbo(0, (gaps, c))
for p, x in primes:
yield p
def prod(seq, factor=1):
"sequence -> product"
for i in seq: factor *= i
return factor
def wheelGaps(primes):
"""returns list of steps to each wheel gap
that start from the last value in primes"""
strtPt = primes.pop(-1) # where the wheel starts
whlCirm = prod(primes) # wheel's circumference
# spokes are every number that are divisible by primes (composites)
gaps = [] # locate where the non-spokes are (gaps)
for i in xrange(strtPt, strtPt + whlCirm + 1, 2):
if not all(map(lambda x: i%x, primes)): continue # spoke
else: gaps.append(i) # non-spoke
# find the steps needed to jump to each gap (beginning from the start of the wheel)
steps = [] # last step returns to start of wheel
for i, j in enumerate(gaps):
if i == 0: continue
steps.append(int(j - gaps[i-1]))
return steps
def wheel_setup(num):
"builds initial data for sieve"
initPrms = roughing(num) # initial primes from the "roughing" pump
gaps = wheelGaps(initPrms[:]) # get the gaps
c = initPrms.pop(-1) # prime that starts the wheel
return initPrms, gaps, c
def roughing(end):
"finds primes by trial division (roughing pump)"
primes = [2]
for i in range(3, end + 1, 2):
if all(map(lambda x: i%x, primes)):
primes.append(i)
return primes
def turbo(lvl=0, initData=None):
"""postponed prime generator with wheels (turbo pump)
Refs: http://stackru.com/a/10733621
http://stackru.com/a/19391111"""
gaps, c = initData
yield (c, 0)
compost = {} # found composites to skip
# store as current value: (base prime, wheel index)
ps = turbo(lvl + 1, (gaps, c))
p, x = next(ps)
psq = p*p
gapS = len(gaps) - 1
ix = jx = kx = 0 # indices for cycling the wheel
def cyc(x): return 0 if x > gapS else x # wheel cycler
while True:
c += gaps[ix] # add next step on c's wheel
ix = cyc(ix + 1) # and advance c's index
bp, jx = compost.pop(c, (0,0)) # get base prime and its wheel index
if not bp:
if c < psq: # prime
yield c, ix # emit index for above recursive level
continue
else:
jx = kx # swap indices as a new prime comes up
bp = p
p, kx = next(ps)
psq = p*p
d = c + bp * gaps[jx] # calc new multiple
jx = cyc(jx + 1)
while d in compost:
step = bp * gaps[jx]
jx = cyc(jx + 1)
d += step
compost[d] = (bp, jx)
оставив опцию для размера колеса, вы также увидите, как быстро большие колеса мало что делают. Ниже приведен тестовый код, показывающий, сколько времени занимает создание колеса выбранного размера и насколько быстро сито с этим колесом.
import time
def speed_test(num, whlSize):
print('-'*50)
t1 = time.time()
initPrms, gaps, c = wheel_setup(whlSize)
t2 = time.time()
print('2-{} wheel'.format(initPrms[-1]))
print('setup time: {} sec.'.format(round(t2 - t1, 5)))
t3 = time.time()
prm = initPrms[:]
primes = turbo(0, (gaps, c))
for p, x in primes:
prm.append(p)
if len(prm) > num:
break
t4 = time.time()
print('run time : {} sec.'.format(len(prm), round(t4 - t3, 5)))
print('prime sum : {}'.format(sum(prm)))
for w in [5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]:
speed_test(1e7-1, w)
Вот как он работал на моем компьютере с использованием PyPy (Python 2.7-совместимый), когда настроено генерировать десять миллионов простых чисел:
2- 3 wheel
setup time: 0.0 sec.
run time : 18.349 sec.
prime sum : 870530414842019
--------------------------------------------------
2- 5 wheel
setup time: 0.001 sec.
run time : 13.993 sec.
prime sum : 870530414842019
--------------------------------------------------
2- 7 wheel
setup time: 0.001 sec.
run time : 7.821 sec.
prime sum : 870530414842019
--------------------------------------------------
2- 11 wheel
setup time: 0.03 sec.
run time : 6.224 sec.
prime sum : 870530414842019
--------------------------------------------------
2- 13 wheel
setup time: 0.011 sec.
run time : 5.624 sec.
prime sum : 870530414842019
--------------------------------------------------
2- 17 wheel
setup time: 0.047 sec.
run time : 5.262 sec.
prime sum : 870530414842019
--------------------------------------------------
2- 19 wheel
setup time: 1.043 sec.
run time : 5.119 sec.
prime sum : 870530414842019
--------------------------------------------------
2- 23 wheel
setup time: 22.685 sec.
run time : 4.634 sec.
prime sum : 870530414842019
Колеса большего размера возможны, но вы можете заметить, что их настроить довольно долго. Существует также закон убывающей отдачи, когда колеса становятся больше - не так уж много смысла проходить мимо колеса 2-13, поскольку они на самом деле не делают его намного быстрее. Я также закончил тем, что столкнулся с ошибкой памяти после колеса 2-23 (у которого было приблизительно 36 миллионов чисел в его gaps список).