Алгоритм простых чисел в Python

Несколько лет назад было доказано, что PRIMES в P. Существуют ли алгоритмы, реализующие тест на простоту в Python? Я хотел провести несколько тестов с наивным генератором и убедиться, насколько он быстр. Я бы реализовал это сам, но я еще недостаточно разбираюсь в статье, чтобы сделать это.

Источник

3 ответа

Решение

Быстрый ответ: нет, тест AKS - не самый быстрый способ проверить первичность. Существуют гораздо более быстрые тесты простоты, которые либо принимают (обобщенную) гипотезу Римана, и / или являются рандомизированными. (Например, Миллер-Рабин легко и быстро реализуется.) Настоящим прорывом в работе стал теоретический, доказывающий, что существует детерминированный алгоритм за полиномиальное время для проверки первичности, без допущения GRH или других недоказанных гипотез.

Тем не менее, если вы хотите понять и реализовать это, короткая статья Скотта Ааронсона может помочь. Здесь не все детали, но вы можете начать со страницы 10 из 12, и этого достаточно.:-) Здесь также есть список реализаций (в основном на C++).

Кроме того, для оптимизации и улучшения (на несколько порядков) вы, возможно, захотите взглянуть на этот отчет, или (более старый) отчет Крэндалла и Пападопулоса, или (еще более старый) отчет Дэниела Дж. Бернштейна. Все они имеют довольно подробный псевдокод, который хорошо подходит для реализации.

Источник

Я упростил использование биномиального расширения,

      from math import comb
                                
def AKS(n):
    if (n ^ 1 == n + 1):        # check if it's even
        if n == 2:
            return True         
        return False
    for i in range(3,n//2):
        if comb(n,i)%n != 0:    # check if any coefficient isn't divisible by n
            return False
    return True
Источник

Да, посмотрите на страницу теста AKS для простых чисел на rosettacode.org

def expand_x_1(p):
    ex = [1]
    for i in range(p):
        ex.append(ex[-1] * -(p-i) / (i+1))
    return ex[::-1]

def aks_test(p):
    if p < 2: return False
    ex = expand_x_1(p)
    ex[0] += 1
    return not any(mult % p for mult in ex[0:-1])
    print('# p: (x-1)^p for small p')
    for p in range(12):
        print('%3i: %s' % (p, ' '.join('%+i%s' % (e, ('x^%i' % n) if n else '')
                                   for n,e in enumerate(expand_x_1(p)))))

print('\n# small primes using the aks test')
print([p for p in range(101) if aks_test(p)])

и вывод:

# p: (x-1)^p for small p
  0: +1
  1: -1 +1x^1
  2: +1 -2x^1 +1x^2
  3: -1 +3x^1 -3x^2 +1x^3
  4: +1 -4x^1 +6x^2 -4x^3 +1x^4
  5: -1 +5x^1 -10x^2 +10x^3 -5x^4 +1x^5
  6: +1 -6x^1 +15x^2 -20x^3 +15x^4 -6x^5 +1x^6
  7: -1 +7x^1 -21x^2 +35x^3 -35x^4 +21x^5 -7x^6 +1x^7
  8: +1 -8x^1 +28x^2 -56x^3 +70x^4 -56x^5 +28x^6 -8x^7 +1x^8
  9: -1 +9x^1 -36x^2 +84x^3 -126x^4 +126x^5 -84x^6 +36x^7 -9x^8 +1x^9
 10: +1 -10x^1 +45x^2 -120x^3 +210x^4 -252x^5 +210x^6 -120x^7 +45x^8 -10x^9 +1x^10
 11: -1 +11x^1 -55x^2 +165x^3 -330x^4 +462x^5 -462x^6 +330x^7 -165x^8 +55x^9 -11x^10 +1x^11

# small primes using the aks test
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]
Источник
Другие вопросы по тегам